Differenzquotienten, Kleine Werte für h

Question

Differenzquotienten

Hallo, ich brauch dringend Hilfe, da ich dieses Thema wirklick gar nicht verstehe. Ich hab https://www.mathelounge.de/230775/stelle-eine-vermutung-uber-die-steigung-des-grapfen-von-punkt schon gesehen aber ich verstehe irgendwie nicht, wie ich diese Vorhergehensweuse auf andere Aufgaben andwenden soll. Es wäre nett wenns mir jemand zeigen würde an diesen Werten (oder einem dieser Werte).

"Stellen Sie eine Vermutung über die Steigung des Graphen von f im Punkt (2|2) auf, indem Sie den Wert des Differenzquotienten für kleine Werte von h berechnen."

1) f(x)= 2/x

2) f(x)= 4x-x^2

Vielen dank!

Answer 1

$$   \frac{f(x+h)-f(x)}{h}  = \frac{ \frac{2}{x+h}-\frac{2}{x} }{h} = \frac{2x-2(x+h)}{x(x+h)h} = -\frac{2}{x(x+h)} $$ Jtzt \( h \to 0 \) ergibt \( -\frac{2}{x^2}  \)

Answer 2

2) f(x)= 4x-x². Den Punkt (2|2) gibt es auf dem Graphen von f nicht. Ich berechne stattdessen die Steigung des Graphen von f im Punkt (x|f(x)):

f(x)= 4x-x²

f(x+h)= 4(x+h)-(x+h)²=4x+4h-(x²+2hx+h²)=4x+4h-x²-2hx-h²

f(x+h)-f(x)=4x+4h-x²-2hx-h²-(4x-x²)=4x+4h-x²-2hx-h²-4x+x²=4h-2hx-h²

\( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)=\( \frac{4h-2hx-h^2}{h} \)=\( \frac{h(4-2x-h)}{h} \)=4-2x-h.

Wenn jetzt h sehr klein wird, geht 4-2x-h gegen 4-2x.

Answer 3

f ( x ) = 2 / x
Wie in der anderen Antwort gezeigt ist der
Differenzenquotient
f ´( x ) = -2 / [ x * ( x + h ) ]

Für x = 2 ist es
f ´( 2 ) = -2 / [ 2 * ( 2 + h ) ]
h = 1 : -2 / [ 2 * ( 2 + 1 ) ] = -0.33
h = 0.1 : -2 / [ 2 * ( 2 + 0.1 ) ] = - 0.48
h = 0.01 : -2 / [ 2 * ( 2 + 0.01 ) ] = - 0.498
h = 0.001 : -2 / [ 2 * ( 2 + 0.001 ) ] = - 0.4998

Die Vermutung ist das die Steigung gegen
- 0.5 geht.

Bei Bedarf nachfragen.