Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von h.

Question

Aufgabe:

Der Graph einer granzrationalen Funktion dritten Grades h berührt die x-Achse im Punkt (0/0). Der Punkt T (1/-1) ist ein lokaler Extrempunkt des Graphen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von h.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte helfen? Ich habe keine Ahnung, wie es man lösen kann.

Answer 1

Aloha :)

Der Graph "berührt" die \(x\)-Achse bei \((0;0)\) heißt, dass bei \(x=0\) eine doppelte Nullstelle vorliegt. Das gesuchte Polynom 3-ten Grades muss also den Faktor \(x^2\) enthalten. Daher wählen wir als Ansatz:$$f(x)=ax^2(x+b)$$$$-1=f(1)=a(1+b)\implies a(1+b)=-1$$$$f'(x)=2ax(x+b)+ax^2\implies f'(1)=2\underbrace{a(1+b)}_{=-1}+a=-2+a\stackrel!=0\implies a=2$$$$-1=a(1+b)=2(1+b)=2+2b\implies 2b=-3\implies b=-\frac{3}{2}$$Damit lautet die Funktion:$$f(x)=2x^2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x^3-3x^2$$

~plot~ 2x^2(x-3/2) ; [[-2|3|-5|5]] ~plot~

Answer 2

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d   und f ' (x) = 3ax^2 + 2bx + c

und berührt die x-Achse im Punkt (0/0).

==>   f(0)=0  und f ' (0) = 0

Der Punkt T (1/-1) ist ein lokaler Extrempunkt des Graphen.

 ==>    f(1) = -1      und f ' (1) = 0

Setze oben ein und du erhältst 4 (einfache) Gleichungen zur Berechnung von abcd.

Ich bekomme a=2 und b=-3. Sieht so aus:

~plot~ 2x^3-3x^2 ~plot~

Answer 3

Hallo,

Der Graph einer granzrationalen Funktion dritten Grades

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2-2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b\)

berührt die x-Achse im Punkt (0/0).

doppelte Nullstelle ⇒ f(0) = 0 und f'(x) = 0

⇒ c und d = 0

Der Punkt T (1/-1) ist ein lokaler Extrempunkt des Graphen

f(1) = -1 und f'(1) = 0

Hieraus erstellst du noch zwei Gleichungen und löst das System mit einem Verfahren deiner Wahl.

Gruß, Silvia