ƒa(x) = x^{2} -2ax+1

Question

Kurvenschar: ƒa(x) = \( x^{2} \)-2ax+1

Jetzt soll eine Kurvendiskusion erfolgen leider bin ich mit der pq - Formel nur so weit gekommen:

ƒa(x) = 0
\( x^{2} \)-2ax+1 = 0

pq:
a±\( \sqrt{a^{2}-1} \)

Kann vielleicht jemand erklären wie genau ich hier rechnen sollte?
In den meisten Erklärvideos wird mit ausklammern etc. gerechnet doch hier müsste es doch eigentlich mit der pq Formel funktionieren.

LG Finn

Answer 1

Hallo Finn,

damit hast du schon das Ergebnis:

\(x_1=1+\sqrt{a^2-1}\quad x_2=1-\sqrt{a^2-1}\)

Bei Funktionsscharen sind die Ergebnisse in Abhängigkeit von den Parametern.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,
danke für die Antwort aber ich verstehe nicht warum jetzt für a willkürlich 1 eingesetzt wurde? Muss man als p jetzt -2 oder -2a einsetzen?

LG

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Entschuldigung, a ist natürlich richtig.

\(x_1=a+\sqrt{a^2-1}\quad x_2=a-\sqrt{a^2-1}\)

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Achso, so reicht das schon. Und wie rechnet man jetzt Extremal und Wendepunkte aus?

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Die Extremstelle = Scheitelpunkt der Parabel berechnest du, indem du die 1. Ableitung = null setzt.

Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, hat sie keine Wendepunkte.

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Vielen Dank, das hat mir weitergeholfen.

Answer 2

$$\begin{aligned} f_a(x) &= x^{2}-2ax+1 \\ &= x^{2}-2ax+a^2+1-a^2 \\ &= \left(x-a\right)^2+\left(1-a^2\right) \end{aligned}$$

Comments

Entschuldigung das verstehe ich leider weniger als die pq Formel also bleibe ich lieber bei der pq Formel trotzdem vielen Dank.

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Ich habe den Funktionsterm über eine quadratische Ergänzung auf Scheitelform gebracht. Damit ist es sehr einfach, den Tiefpunkt zu bestimmen. Auch die eventuellen Nullstellen lassen sich darüber leicht ermitteln.