Stetige und differenzierbar Funktionen

Question

Aufgabe : l ist ein Interval in R, das mehr als einen Punkt enthält. f:l ⇒R, g: l ⇒R sind stetige Fkt. en. Für alle x∈ l ∩ ℚ ist f(x) = g(x). Zu zeigen, daß f(x) = g(x) für alle x ∈ l gilt

Problem/Ansatz

Mein Problem ist, dass ich keinen Ansatz finde.

Answer 1

Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen.

Wenn die Funktionswerte für alle Folgenglieder  gleich sind,

dann sind wegen der Stetigkeit auch die Funktionswerte

der Grenzwerte gleich.

Comments

Das leuchtet jetzt schon ein. Jetzt werde ich mal versuchen, das in eine Beweisstrucktur zu bringen. Für den Ansatz erstmal

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Das ganze ist mir wie gesagt so schön klar, aber mir fehlt wirklich die Idee wie ich jetzt einen Beweis mathematische korrekt formulieren kann.

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Fang doch so an: Sei x ∈ I

1. Fall x∈ℚ. dann ist f(x)=g(x) nach Vor.

2. Fall x∉ℚ. Dann gibt es eine Folge rationaler

Zahlen (x_n)_n∈ℕ mit dem Grenzwert x für n gegen unendlich.

Und für alle Folgenglieder gilt  f(x_n)=g(x_n) .

Dann ist auch die Differenz f-g eine stetige Funktion und

für die gilt (f-g)(x_n) = 0 für alle n∈ℕ  .

Wegen der Stetigkeit gilt auch für den Grenzwert x der

Folge x_n dann  (f-g)(x) = 0 also f(x)=g(x).