Relationen von Mengen, gar kein Ansatz

Question

Aufgabe:

Es seien X, Y und Z Mengen, R eine Relation zwischen X
und Y , und S eine Relation zwischen Y und Z. Vervollständigen Sie die Beweise der
folgenden Aussagen:

(a) Wenn S ◦ R rechtstotal ist, dann ist S rechtstotal.
Beweis. Die Relation S ◦ R sei rechtstotal.
Es sei z ein Element aus Z. Da S ◦ R rechtstotal ist, [...]
Somit gibt es für jedes Element z aus Z ein Element y aus Y so, dass (y, z) ein
Element aus S ist, das heißt, dass S rechtstotal ist.

(b) Wenn S ◦ R linkseindeutig ist und S linkstotal ist, dann ist R linkseindeutig.
Beweis. Die Relation S ◦ R sei linkseindeutig und die Relation S linkstotal.
Es seien x und xb Elemente aus X, sowie y ein Element aus Y so, dass (x, y) und
(x, y b ) Elemente aus R sind. Da S linkstotal ist, [...]
Somit folgt für alle Elemente x und xb aus X und jedes Element y aus Y , für die
(x, y) und (x, y b ) Elemente aus R sind, dass x und xb gleich sind, das heißt, dass R
linkseindeutig ist.

(c) Wenn S ◦ R rechtstotal ist sowie S linkseindeutig und linkstotal ist, dann ist R
rechtstotal.
Beweis. Die Relation S ◦ R sei rechtstotal und die Relation S linkseindeutig und
linkstotal.
Es sei y ein Element aus Y . Da S linkstotal ist, [...]
Somit gibt es für jedes Element y aus Y ein Element x aus X so, dass (x, y) ein
Element aus R ist, das heißt, dass R rechtstotal ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe überhaupt keinen Ansatz für diese Aufgaben. Hätte jemand eine Idee/Ansatz oder auch eine Lösung für diese Aufgaben. Ich bin leider ein bisschen überfordert.

Danke.

Answer 1

Du musst letztlich nur die Definitionen der Begriffe

anwenden.

(a) Wenn S ◦ R rechtstotal ist, dann ist S rechtstotal.

Beweis. Die Relation S ◦ R sei rechtstotal.
Es sei z ein Element aus Z. Da S ◦ R rechtstotal ist,

gibt es ein Element x ∈X so, dass (x,z) ∈ S ◦ R

==>  Es gibt y ∈Y so, dass (x,y) ∈ R und ( y,z) ∈ S.

Somit gibt es für jedes Element z aus Z ein Element y aus Y so, dass (y, z) ein
Element aus S ist, das heißt, dass S rechtstotal ist.

Comments

Aber wie ist das dann bei der Aufgabe b und c?

Ich versteh leider nicht wie S ◦ R linkseindeutig sein kann und S gleichzeitig linkstotal ist aber R nur linkseindeutig ist.

Und bei c das selbe wenn S ◦ R rechtstotal ist aber S linkseindeutig und linkstotal ist, dann ist R rechtstotal. Aber wie lautet dazu der Beweis den haben wir uns nicht notiert bzw. habe ich gerade eine Hänger in meiner Denkweise.