Question

Woran erkenne ich, ob ein Graph durch den Koordinatenusrprung verläuft?

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Matheaufgabe bekommen, die ich gar nicht verstehe. Es handelt sich hierbei um Funktionsscharen.

Die Funktion lautet: - 1/t mal x^2 + 2x ( ich musste für t 1,2 und 4 einsetzen)

Aber ich muss zeigen, dass alle Graphen durch den Koordinatenursprung laufen. Wie soll ich das machen? Und ich kriege es auch nicht hin, die Hochpunkte in Abhängigkeit von t auszurechnen. Kann mir da jemand bitte helfen?

Danke und viele Grüße

Answer 1

f_t(x) = - 1/t * ( x^2 + 2x)

Wenn du für x=0 einsetzt gibt es

f_t(0) = - 1/t * ( 0^2 + 2*0)

     = - 1/t * 0   = 0

Also ergibt sich für x=0 immer auch y=0

und damit liegt der Punkt (0;0) immer auf dem Graphen.

Für die Hochpunkte betrachte f_t ' (x) = - 1/t * ( 2x + 2)

==>  f_t(x) = 0 <=> - 1/t * ( 2x + 2) = 0

                    <=>    2x + 2= 0    <=>   x = -1

Und f_t ' ' (x) = - 1/t * 2 also ist auch   ft ' ' (-1) = - 1/t * 2 < 0

Somit gilt ft ' (-1) = 0 und   ft ' ' (-1) < 0  [denn t>0 ist wohl vorgegeben.]

und also ein Hochpunkt bei x=-1 .

Dessen y-Koordinate ist ft(-1) =  - 1/t * ( (-1)^2 + 2*(-1))

                                           =  - 1/t * ( 1 + (-2))

                                            =  - 1/t * ( -1)   =   1/t

Also sind die Hochpunkte alle H( -1 ; 1/t) und hängen also von t ab.

Comments

Vielen vielen Dank!

Sie wissen gar nicht, wie sehr sie mich gerettet haben, vor allem weil ich es endlich für meine klausur verstehe! Danke danke!!

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Na dann wünsche ich einen guten Erfolg.

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Hallo Emiliea,

unabhängig von der analytischen Erklärung solltest Du Dir auch ein Bild machen, wie die Graphen der Kurvenschar aussehen:

~plot~ -(x^2+2x)/1;-(x^2+2x)/2;-(x^2+2x)/4; ~plot~

Oben siehst Du die Kurven für \(t= \{1,\,2,\,4\}\). Man erkennt, dass alle Graphen durch die Punkte \((0|\,0)\) und \((-2|\,0)\) verlaufen. Und der Hochpunkt liegt immer genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen - bei \(x=-1\)

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Ohaa wie lieb das ist, dass noch so zu verdeutlichen. Vielen lieben Dank, sie wissen gar nicht was für eine Freude sie mir bereiten. !

Answer 2

Setze für x =0 ein und wenn dann y=0, läuft der Graph durch den Ursprung.

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Danke sehr jetzt verstehe ich endlich was mit x=0 setzen gemeint ist, wirklich vielen Dank!

Answer 3

Der Nachweis dünkt mir recht einfach

f _t ( x )=  - 1/t * x^2 + 2x | x ausklammern
f _t ( x ) = x * ( - 1/t *  x + 2 )

Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
f _t ( 0 ) = 0 * ( - 1/t * 0 + 2 ) = 0
Für alle t glit
( 0 | 0 )

Bei Bedarf nachfragen

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Vielen Dank das ist sehr lieb!