Bestimme die Schnittgerade von der Ebene E1: \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 …

Question

Aufgabe:

Bestimme die Schnittgerade von der Ebene E₁: $\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$+r$\begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix}$+s$\begin{pmatrix} 2\\2\\1\end{pmatrix}$ und E₂: -2x+y+3z=4

Answer 1

Aloha :)

Aus der ersten Ebenengleichung entnimmst du:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2r+2s\\2-r+2s\\1+2r+s\end{pmatrix}$$Das setzt du in die zweite Ebenengleichung ein:$$4=-2(1+2r+2s)+(2-r+2s)+3(1+2r+s)=r+s+3\implies r=1-s$$Dieses $r$ setzt du nun wieder in die erste Ebenengleichung ein und erhältst die Schnittgerade:

$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+(1-s)\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank ^^

Answer 2

- 2·(1 + 2·r + 2·s) + (2 - r + 2·s) + 3·(1 + 2·r + s) = 4 --> s = 1 - r

Schnittgerade

X = [1, 2, 1] + r·[2, -1, 2] + (1 - r)·[2, 2, 1] = [3, 4, 2] + r·[0, -3, 1]

Answer 3

Setze \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =$\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$+r$\begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix}$+s$\begin{pmatrix} 2\\2\\1\end{pmatrix}$ in $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$ ·$\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$ =4 ein und multipliziere aus. Dann erhaltst du eine Beziehung zwischen r und s, mit der du z.B. r in E₁ ersetzen kannst. Nach etwas Rechnung erhältst du so die Schnittgerade - falls sie existiert.