Aloha :)
Wir betrachten die Differenz von rechter und linker Seite und zeigen, dass diese \(\ge0\) ist:
$$\phantom{=}\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}-\frac{|x+y|}{1+|x+y|}$$$$=\frac{|x|(1+|y|)+|y|(1+|x|)}{(1+|x|)(1+|y|)}-\frac{|x+y|}{1+|x+y|}$$$$=\frac{|x|+2|xy|+|y|}{1+|x|+|y|+|xy|}-\frac{|x+y|}{1+|x+y|}$$$$=\frac{(\,|x|+2|xy|+|y|\,)(\,1+|x+y|\,)-|x+y|\,(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}$$$$=\frac{(\,|x|+2|xy|+|y|\,)+(\,\cancel{|x|}+\cancel{2}|xy|+\cancel{|y|}\,)|x+y|-|x+y|\,(\,1+\cancel{|x|}+\cancel{|y|}+\cancel{|xy|}\,)}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}$$$$=\frac{(\,|x|+2|xy|+|y|\,)+|xy||x+y|-|x+y|}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}$$$$=\frac{\overbrace{(\,|x|+|y|-|x+y|\,)}^{\ge0}+2|xy|+|xy||x+y|}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}\quad\text{wegen}\;|x+y|\le|x|+|y|$$$$\ge\frac{2|xy|+|xy||x+y|}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}\ge0\quad\checkmark$$Damit ist die Behauptung gezeigt.
Die zweite Ungleichung für \(x,y>0\) erhalten wir wie folgt:$$\left.\phantom{\Leftrightarrow}\;\;(x-y)^2(x+y)\ge0\quad\right|\quad\text{ausrechnen}$$$$\left.\Leftrightarrow\;\;(x^2-2xy+y^2)(x+y)\ge0\quad\right|\quad\text{weiter ausrechnen}$$$$\left.\Leftrightarrow\;\;x^3-2x^2y+xy^2+x^2y-2xy^2+y^3\ge0\quad\right|\quad\text{Terme zusammenfassen}$$$$\left.\Leftrightarrow\;\;x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0\quad\right|\quad+x^2y+xy^2$$$$\left.\Leftrightarrow\;\;x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\quad\right|\quad:(xy)$$$$\Leftrightarrow\;\;\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\quad\checkmark$$
