Ungleichung mit nte Wurzel beweisen

Question

Aufgabe:

Es gilt ∀a,b ∈ ℝ: a, b > 0 und n ∈ ℕ.

Zz: \( \sqrt[n]{a+b} \) ≤ \( \sqrt[n]{a} \) + \( \sqrt[n]{b} \)

Problem/Ansatz:

Ansatz wäre mit n zu potenzieren: a+b ≤ ( \( \sqrt[n]{a} \) + \( \sqrt[n]{b} \))ⁿ

Danach hätte ich die rechte Seite mit dem Binomischen Lehrsatz umgeschrieben.

Ab diesen Punkt komme ich irgendwie nicht weiter, vielleicht würde es funktionieren einzelne Summanden herauszuziehen, aber ich weiß nicht wie das aussehen soll.

Vorschläge fürs lösen?

Answer 1

Danach hätte ich die rechte Seite mit dem Binomischen Lehrsatz umgeschrieben.

Gute Idee, das gibt

\( (\sqrt[n]{a} \) + \( \sqrt[n]{b})^n  = (\sqrt[n]{a})^n + .... +   (\sqrt[n]{b})^n  \)

    Und weil die wegfallenden Summanden alle nicht negativ sind, ist das

Ergebnis sicherlich größer oder gleich a+b.

Comments

Dieses Ergebnis habe ich mir auch schon gedacht, nur hatte ich Probleme das hinzuschreiben. Wie würde das dann aussehen?

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Wäre die rechte Seite dann so: \( \sum\limits_{k=2}^{\infty}{n-1} \) Binominalkoeffizent \( \sqrt[n]{a} \)^n-k \( \sqrt[n]{b} \)^k  + a +b