Aloha :)$$f(x)=-0,25x^3+3x+4=-\frac{1}{4}\left(x^3-12x-16\right)$$Alle ganzzahligen Nullstellen der Funktion müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein, also von der \(16\). Daher kommen alle 2er-Potenzen bis \(16\) in Betracht:$$\pm1,\pm2,\pm4\,\pm8\,\pm16$$Wenn man die einsetzt, findet man eine Nullstelle bei \(x=-2\) und ene Nullstelle bei \(x=4\).
Man kann also das eingeklammerte Polynom durch \((x+2)\) und \((x-4)\) dividieren. Wir dividieren das Polynom duch \((x+2)\) mit dem Horner-Schema:
$$\begin{array}{rrrr}\boxed{-2} & x^3 && x^2 && x && 1\\[0.2ex]\hline & 1 && 0 && -12 && -16\\& \downarrow && -2 && 4 && 16\\& \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow \\\hline& 1 && -2 && -8 && 0\end{array}\quad\implies\quad\begin{array}{l}(x^3-12x-16):(x+2)\\[1ex]=x^2-2x-8\end{array}$$
Das Ergebnis \((x^2-2x-8)\) können wir weiter zerlegen. Wenn wir zwei Zahlen finden, deren Summe \((-2)\) und deren Produkt \((-8)\) ist, können wir die Zerlegung sofort hinschreiben. Die beiden Zahlen \(-4\) und \(2\) leisten dies, daher ist:$$(x^2-2x-8)=(x-4)(x+2)$$
Damit haben wir folgende Zerlegungvon der Funktion \(f(x)\) gefunden:$$f(x)=-\frac{1}{4}(x-4)(x+2)^2$$und hat nur die beiden angegebenen Nullstellen.
