Zeigen Sie: Es existiert ein x₀ ∈ R mit f(x₀) = f(x₀ + 1).

Question

Aufgabe: Sei f : ℝ → ℝ eine stetige Funktion mit f(1) = f(−1) = 0.
Zeigen Sie: Es existiert ein x₀ ∈ R mit f(x₀) = f(x₀ + 1).

Problem/Ansatz:

Ich weiß mir bei dieser Aufgabe leider gar nicht zu helfen und würde mich über etwas fremde Hilfe sehr freuen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige: Es existiert ein x₀ ∈ ℝ mit f (x₀) = f (x₀ + 1)

Stichworte: funktion,analysis

Aufgabe:

Sei f: ℝ → ℝ eine stetige Funktion mit f(1) = f (-1) =0.

Zeige: Es existiert ein x₀ ∈ ℝ mit f (x₀) = f (x₀ + 1)

Ich würde mich sehr über Lösungsvorschläge freuen!

Answer 1

Betrachte die Funktion \( g(x) = f(x+1) - f(x) \). Dann gilt \( g(0) = -f(0) \) und \( g(-1) = f(0) \). Nach dem ZWS gibt es jetzt eine Wert \( x_0 \) mit $$ g(x_0) = 0 $$ D.h. aber $$ f(x_0+1) = f(x_0) $$