Zeigen Sie, dass ein Punkt ξ ∈ K mit minimalem Abstand zu a existiert.

Question

Aufgabe:

Sei K ⊂ ℝⁿ kompakt und sei a ∈ ℝⁿ.

Zeigen Sie, dass ein Punkt ξ ∈ K mit minimalem Abstand zu a existiert.

(Hinweis: Die Funktion f : ℝⁿ → ℝ, f (x) = ||x|| ist stetig.).

Answer 1

Betrachte die Funktion f: K → ℝ mit f(x) = || x-a || .

Da sie stetig ist, nimmt sie auf der kompakten Teilmenge K

ihr Minimum in einem Punkt ξ ∈ K an.   q.e.d.

Comments

und das ist die Lösung ?

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Es gibt also einen Punkt ξ ∈ K für den || x-a || den

kleinsten Wert aller x ∈ K hat, das ist ein Punkt

mit minimalem Abstand zu a.