Gleichungssystem und Abbildungen

Question

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Gegeben sind b1, b2 ∈ R und das lineare Gleichungssystem für x1, x2 ∈ R

2x1 + x2 = b1,
\( \frac{1}{2} \) x−x=b2


Das lineare Gleichungssystem ist äquivalent zu:


Ax=b mit den Vektoren x= \( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \)  und b= \( \begin{pmatrix} b1\\b2 \end{pmatrix} \)

und einer geeignet gewählten 2x2-Matrix A. Die Abbildung x → Ax ist die Multiplikation von A mit dem Vektor x.





Frage: Hat das lineare Gleichungssystem für jede Wahl von b1, b2 ∈ R eine Lösung?

Answer 1

Aloha :)

a) Wir prüfen, ob das LGS eine Lösung für jede Wahl von \(b_1,b_2\) hat.

$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 1 & b_1 & +\text{Zeile 2}\\0,5& -1 & b_2 & \\\hline2,5 & 0 & b_1+b_2 & \cdot\,0,4\\0,5 & -1 & b_2\\\hline1 & 0 & 0,4(b_1+b_2) & \\0,5 & -1 & b_2 & -0,5\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 0 & 0,4(b_1+b_2) & \\0 & -1 & b_2-0,2(b_1+b_2) & \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0,4(b_1+b_2) & \\0 & 1 & 0,2(b_1+b_2)-b_2 &\\\hline\end{array}$$Wir haben also folgende Lösung gefunden:$$x_1=\frac{2(b_1+b_2)}{5}\quad;\quad x_2=\frac{b_1+b_2}{5}-b_2=\frac{b_1-4b_2}{5}$$Das LGS hat also für jede Wahl von \(b_1,b_2\) eine eindeutige Lösung.

b) Wir bestimmen die passende Matrix:

$$\begin{array}{r}2x_1+x_2=b_1\\\frac{1}{2}x_1-x_2=b_2\end{array}\;\Leftrightarrow\;\binom{2}{\frac{1}{2}}x_1+\binom{1}{-1}x_2=\binom{b_1}{b_2}\;\Leftrightarrow\;\underbrace{\begin{pmatrix}2 & 1\\\frac{1}{2} & -1\end{pmatrix}}_{=A}\binom{x_1}{x_2}=\binom{b_1}{b_2}$$

Comments

Vielen Dank!

Kannst du mir auch bitte bei der Aufgabe c) helfen?

Untersuchen Sie die Surjektivität der Abbildung ℝ² → ℝ², x → Ax mit der Matrix A =\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix} \) , wobei ℝ² die Menge aller reellwertigen Vektoren mit zwei Komponenten benennt.

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Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. In Teil a) haben wir gezeigt, dass es für jedes \((b_1,b_2)\) aus der Zielmenge eine eindeutige Lösung gibt und haben diese Lösung sogar berechnet. Jedes Element \((b_1,b_2)\) aus der Zielmenge kann also erreicht werden. Die Abbildung ist surjektiv.