Bestimmen Sie die Anzahl der linearen Abbildungen f : R^3→R^3 mit f^4 = -id_R^3 .

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der linearen Abbildungen f : R³→R³ mit f⁴ = -id_R^3 .

Problem/Ansatz:

Nach einem Beispiel in der Vorlesung muss man bei der Aufgabe einfach

g(x) = x⁴  + id_R^3

Also g(x)=x^4+1 ?

Und wenn das stimmt haben wir es dann immer weiter in irreduzible Linearfaktoren zerlegt nur weiter zerlegen geht hier doch nicht mehr oder?

Oder betrachtet man dann x+1,x²+1,x³+1 und x⁴+1 ?

Comments

Weil x^4+1 ist ja auch (x+1)^4

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...weiter zerlegen geht hier doch nicht mehr oder?

\(x^4+1=(x^2+\sqrt2\,x+1)\cdot(x^2-\sqrt2\,x+1)\).

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Okay danke und wären das dann die linearen Abbildungen oder wie ist das in der Aufgabe gemeint?

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Ich versuche mal einen anderen Ansatz: Wenn \(f\) eine lineare Abbildung mit den oben genannten Eigenschaften ist, dann hat \(f\) mindestens einen Eigenwert \(\lambda\in\mathbb R\). Für diesen müsste \(\lambda ^4=-1\) gelten. Demnach dürfte es keine derartige Abbildung geben.

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ja weil es ja nicht in den Komplexen Zahlen liegt die Abbildung also wäre die Anzahl der Linearen Abbildungen gleich 0?

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Du meinst, \(\lambda\) kann nicht in den reellen Zahlen liegen, also muss die Anzahl gleich Null sein.

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Ja genau das meine ich

Vielen Dank