Komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung in Standarddarstellung angeben. z^2 = -r

Question

a) Sei \( r>0 \) eine reelle Zahl. Berechnen Sie alle komplexen Lösungen (in Standarddarstellung) der Gleichung

\( z^{2}=-r \)

b) Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen (in Standarddarstellung) der Polynome

\( z^{2}-2 z+6 \quad \text { und } \quad z^{2}-(4-i) z+4-2 i \)

Answer 1

Gemäss http://n.ethz.ch/student/marolfa/studium/KomplexZahl.pdf Seite 3

ist die Standarddarstellung die Darstellung
z = a + ib.

z^2 = -r

(a + ib)^2 = -r

a^2 + 2abi - b^2 = -r

a^2 - b^2 + 2abi = -r + 0i

Daher 2 Gleichungen (Realteil und Imaginärteil müssen beide gleich sein)

1. (Imaginärteile) 2ab=0

und
2. (Realteil) a^2 - b^2 = -r.

Wegen 1. ist entweder a oder b = 0.

Fall a=0 ergibt
2. - b^2 = -r
b^2 = r
b= ±√r

L = {i√r. -i√r}

Fall b=0 ergibt keine weitere Lösung, da r nach Voraussetzung grösser als 0 ist.

Bei der Aufgabe b) kannst du z.B. die Mitternachtsformel oder die pq-Formel benutzen und danach deinen Term vereinfachen. Versuch das mal. Und melde dich wieder, wenn du dann nicht mehr weiterweisst.

Tipp: Am besten Antwort und alle Kommentare ganz lesen, sollte der Link in Zukunft mal wirklich nicht mehr aktuell oder verloren sein. Besser: Selbst Theorie nachlesen.

Comments

z^2 = -r

(a + ib)^2 = -r

a^2 + 2abi - b^2 = -r

a^2 - b^2 + 2abi = -r + 0i

Daher 2 Gleichungen (Realteil und Imaginärteil müssen beide gleich sein)

1. (Imaginärteile) 2ab=0

und
2. (Realteil) a^2 - b^2 = -r.
 

Wegen 1. ist entweder a oder b = 0.

Fall a=0 ergibt
2. - b^2 = -r
b^2 = r
b= ±√r

L = {i√r. -i√r}

Fall b=0 ergibt keine weitere Lösung, da r nach Voraussetzung grösser als 0 ist.

Bei der Aufgabe b) kannst du z.B. die Mitternachtsformel oder die pq-Formel benutzen und danach deinen Term vereinfachen. Versuch das mal. Und melde dich wieder, wenn du dann nicht mehr weiterweisst.

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vielen dank, was genau ist ein realteil und was ein imaginärteil? danke für die seite die ist sehr verständlich. ich setze mich an teil b :)

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Realteil ist in der Standarddarstellung z = a+ib das a, Imaginärteil das b.

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ok ich hänge leider. mitternachtsformel ergibt 2 gleichungen:

1. z₁=1+0,5√20i  2. z1=1+0,5√20i

dann setze ich die standardformel ein:

(a+ib)=1+0,5√20i  bez. (a+ib)=1-0,5√20i

und dann?

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z^2 -2z + 6 = 0

z1 = 1/2 ( 2 ±√(4 - 24))

= 1 + 0.5√20 i

Teilweises Wurzelziehen

= 1 + 0.5 √(4"5) i

= 1 + 0.5*2√5 i

= 1 + √5 i

Analog

z2 = 1 - √5 i

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2+-2z+%2B+6+%3D+0

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vielen dank das hab ich jetzt verstanden :) wie schreibe ich die lösung hin?

 

so?: L={1+√5i/1-√5i}

 

zum 2. teil hab ich so angefangen

z_1/2= ((4-i)±√4i+i²)/2   was fange ich mit dem term unter der wurzel an?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z^2+-%284-i%29z%2B+4-2i+%3D+0 

 

diese seite rechnet ganz anders und ich komm nicht auf die Lösung von denen :(

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z= 1/2 ((4-i) ±√((4-i)^2 - 4(4-2i))

= 1/2((4-i) ±√(16 - 8i + i^2 - 16 + 8i)

= 1/2((4-i)±√(i^2))

= 1/2 ( 4-i ± i)

z1 = 2

z2 = 2 -i

Bei b) ist also L = { 2, 2-i }

und bei a)

L={1+√5i/1-√5i}

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Wirklich schön ist eigentlich der Lösungsweg mit der Formel für quadratische Gleichungen, nicht, da ein Wurzelzeichen vorkommt. Aber der Weg funktioniert.

Wenn du dich an die quadratische Ergänzung erinnern kannst, kommst du auch damit zu den Nullstellen deiner Polynome vom Grad 2.

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okay super ich rechne es nochmal nach ich hab noch eine frage zu weiter oben:

zitat:

a2 - b2 + 2abi = -r + 0i

Daher 2 Gleichungen (Realteil und Imaginärteil müssen beide gleich sein)

1. (Imaginärteile) 2ab=0

und
2. (Realteil) a2 - b2 = -r.

ich verstehe nich warum man und wie man daraus 2 gleichungen machen kann und wie man auf 1. und 2. kommt.

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a^2 - b^2 + 2abi = -r + 0i

zwei komplexe Zahlen z=x + iy sind genau dann gleich, wenn ihr Realteil und ihr Imaginärteil gleich sind.

Daher

1. (Imaginärteile) 2ab=0

und
2. (Realteil) a^2 - b^2 = -r.

Wie du die beiden nummerierst ist dir überlassen. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten kann man z.B. mit dem Einsetzverfahren auflösen. Vgl. oben.

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das weitere auflösen verstehe ich aber leider nicht das davor.

zwei komplexe zahlen z (welche 2 sind das hier in der Aufgabe? sind das -r und 0i)?

lg und vielen dank

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a² - b² + 2abi = -r + 0i

ist eine Gleichung. Links und rechts stehen zwei (komplexe) Zahlen.

und die sind also gleich. Daher sind Realteil und Imaginärteil gleich. Daher die beiden Gleichungen, die ich dir oben hingeschrieben hatte.

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Hallo Lu,

Bei deiner Lösungsmenge L = {i√r. -i√r} ergibt für mich der vordere Teil: i√r keine richtige Lösung.

Da wenn man von dem Fall a=0 ausgeht und in die daraus folgende Gleichung: -b^2=-r für b den vorderen Teil einsetzt ergibt das: r = -r .
Wie kommst du übrigends allgemein auf diese Lösungsmenge mit dem i ? Da b=+-√r meines Erachtens bereits die richtige Lösung ist.
Vielen Dank schonmal im Voraus.

Gruß

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Verlangt sind die Lösungen in Stadarddarstellung. D.h. in der Form

z= a + ib
vgl. nochmals den Link, den ich zu Beginn angegeben hatte.

Setze als Probe die Lösungen in der ursprünglichen Gleichung ein:

z^2 = -r

(i√r)^2 = i^2 * r = -r

und

(-i√r)^2 = i^2 * r = -r

Beide stimmen.

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Hi,

wie sieht es den bei dem Fall b=0 genauer aus, weil ich bekomme dort ebenfalls das selbe raus,
+-i√r in der Standarddarstellung.
Gruß

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Steht alles bereits (ganz) oben. Mehr kannst du nicht bekommen. Zahlen von denen du annimmst, dass sie reell sind, können nicht plötzlich einen Imaginärteil haben.