Maximumnorm, offen, beschränkt, abgeschlossen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Teilmengen von (R^2,| | ·| | ∞): (ACHTUNG Maximumnorm)
a) M = {(x1, x2) ∈ R^2| x1 < x2},

b) M = {(x, 0) ∈ R^2| − 1 < x < 1}.

Skizzieren Sie M, prüfen Sie, ob M (i) offen, (ii) abgeschlossen, (iii) beschränkt ist (mit
jeweils kurzer Begründung) und geben Sie ∂M, M◦ sowie M an.

Problem/Ansatz:

Das Grundproblem verstehe ich, aber ich weiß nicht, wie ich das ganze auf die Maximumnorm anwenden soll. Ich habe zuerst bei a) M skizziert. Das ist einfach ein Quadrat mit den Kantenlängen x2, oder? Jetzt weiß ich nicht, wie ich das beweisen kann, dass es offen oder nicht offen ist.

Answer 1

Ich habe zuerst bei a) M skizziert. Das ist einfach ein Quadrat mit den Kantenlängen x2, oder?

Das glaube ich nicht. Bei der Def. von M heißt es doch nur x1 < x2,

das hat mit der Norm noch nichts zu tun.  Für x1=x2 bekommst du

doch eine Gerade, die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten.

Und für x1 < x2 also alles was oberhalb dieser Geraden liegt.

Und für: (i) offen, (ii) abgeschlossen, (iii) beschränkt ist (mit
jeweils kurzer Begründung) und geben Sie ∂M, M◦ sowie M an.

geht es um die Max-Norm.

Ich meine: Hier ist M offen, denn wenn ich ein Element von M habe,

dann gilt ja x1<x2  und dann gibt es auch eine ε-Umgebung ( also ein

achsenparalleles Quadrat) von diesem Element, die ganz in M ,

also ganz oberhalb der Geraden x1=x2 liegt. Etwa für ε=(x2-x1)/4.