Nachweisen, dass Funktion surjektiv und nicht injektiv ist für Abschnittsweise definierte Funktion

Question

Aufgabe:

Man zeige, dass
$$ f:[-1,1] \longrightarrow\left[0, \frac{3}{2}\right], f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-(x+1)^{2} & \text { für }-1 \leq x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x & \text { für } \quad 0<x \leq 1 \end{array}\right. $$
surjektiv und nicht injektiv ist.

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird.$$f(-1)=1\;\;;\;\;f\left(\frac{1}{2}\right)=1\;\;\implies\;\;\text{nicht injektiv}$$

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.

Für \(x\in[-1;0]\) lautet die Funktion \(f(x)=1-(x+1)^2\). Als Polynom ist sie stetig, nimmt also alle Funktionswerte zwischen \(f(0)=0\) und \(f(-1)=1\) an.

Für \(x\in(0;1]\) lautet die Funktion \(f(x)=\frac{1}{2}+x\). Auch das ist ein Polynom und daher stetig. Insbesondere nimmt die Funktion daher aller Werte zwischen \(f(\frac{1}{2})=1\) und \(f(1)=\frac{3}{2}\) an.

Insgesamt wird also jedes mögliche Zielelement aus der Wertemegne \([0;\frac{3}{2}]\) mindestens 1-mal erreicht, die Funktion ist daher surjektiv.