Zeigen das f surjektiv aber nicht injektiv ist

Question

Text erkannt:

(a) Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow[-4, \infty)$ mit $f(x)=(x-1)(x+3)=x^{2}+2 x-3=(x+1)^{2}-4$. Zeigen Sie dass $f$ surjektiv aber nicht injektiv ist.
(b) Sei $g:(-\infty,-1] \rightarrow \mathbb{R}$ mit $g(x)=(x-1)(x+3)=x^{2}+2 x-3=(x+1)^{2}-4$. Zeigen Sie dass $g$ injektiv aber nicht surjektiv ist.
(c) Sei $F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & -3 & 7\end{array}\right) \cdot x$. Zeigen Sie dass $F$ bijektiv ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Hilfe wäre sehr dankbar dafür

Answer 1

Zu (a):

Sei $y\in [-4,\infty)$. Dann ist $y+4\geq 0$.

Daher existiert $x=\sqrt{y+4}-1$ und es ist $f(x)=y$,

also ist $f$ surjektiv.

Da $f(1)=0=f(-3)$ ist $f$ aber nicht injektiv.