Zeigen das f surjektiv aber nicht injektiv ist

Question

Text erkannt:

(a) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow[-4, \infty) \) mit \( f(x)=(x-1)(x+3)=x^{2}+2 x-3=(x+1)^{2}-4 \). Zeigen Sie dass \( f \) surjektiv aber nicht injektiv ist.
(b) Sei \( g:(-\infty,-1] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(x)=(x-1)(x+3)=x^{2}+2 x-3=(x+1)^{2}-4 \). Zeigen Sie dass \( g \) injektiv aber nicht surjektiv ist.
(c) Sei \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & -3 & 7\end{array}\right) \cdot x \). Zeigen Sie dass \( F \) bijektiv ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Hilfe wäre sehr dankbar dafür

Answer 1

Zu (a):

Sei \(y\in [-4,\infty)\). Dann ist \(y+4\geq 0\).

Daher existiert \(x=\sqrt{y+4}-1\) und es ist \(f(x)=y\),

also ist \(f\) surjektiv.

Da \(f(1)=0=f(-3)\) ist \(f\) aber nicht injektiv.