Question

Gibt es eine Funktion von ℤ nach ℕ die injektiv, aber nicht surjektiv ist?

Answer 1

\(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{N}\) sind bekanntermaßen gleichmächtig.

Es gibt also eine Bijektion \(f:\; \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}\),

Die Abbildung \(g:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N},\; z\mapsto f(z)+1\)

hat dann die geforderten Eigenschaften.

Comments

was bedeutet z ↦ f(z) +1?

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Das bedeutet \(g(z)=f(z)+1\).

Wörtlich: "\(z\) wird abgebildet auf \(f(x)+1\)".

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okay, ich verstehe noch nicht ganz, wie mir das weiterhilft

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Ist bei euch \(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots\}\)

oder \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\cdots\}\) ?

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Die 0 ist dabei

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\(g(z)\) kann nicht 0 werden, also ist \(g\) nicht surjektiv.

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ah ja, macht sinn, danke