Kann eine Funktionenfolge Element einer Menge von Funktionen sein?

Question

ich habe ein grundlegendes Verständnisproblem mit folgender Definition. Die Definition ist aus einem Lehrbuch, welches ich zum Lernen benutze (es geht um punktweise Konvergenz, aber mir geht es um ein Detail in der konkreten Formulierung der Definition):

Definition. Für eine Menge \( M \) bezeichne \( \mathcal{F}(M)=\mathcal{F}(M, \mathbb{K}) \) die Menge aller Funktionen von \( M \) nach \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) oder \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \).

a) Eine Abbildung \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathcal{F}(M) \) heißt Funktionenfolge. Die Abbildungswerte \( f_{n}:=f(n) \) heißen Folgenglieder, und man schreibt \( f=\left(f_{n}\right) \)
b) Eine Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right) \) in \( \mathcal{F}(M) \) konvergiert punktweise auf \( M \) gegen \( f \in \mathcal{F}(M), \) falls gilt...

In der Definition werden Funktionenfolgen "\( \left(f_{n}\right) \) in \( \mathcal{F}(M) \)" erwähnt. Ist damit gemeint, dass alle \( \left(f_{n}\right) \) Elemente der Menge \( \mathcal{F}(M) \) sind? Ich frage mich, ob das überhaupt möglich ist, da oben die Menge \( \mathcal{F}(M) \) als Menge aller Funktionen von \( M \) nach \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) oder \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) definiert wurde, jedes \( \left(f_{n}\right) \) aber eine Funktion von \( \mathbb{N} \) nach \(\mathcal{F}(M) \) ist. Nach Definition der Menge \(\mathcal{F}(M) \) sollte also doch eigentlich kein \( \left(f_{n}\right) \) Element von \( \mathcal{F}(M) \) sein können. Verstehe ich etwas falsch?

Answer 1

"\( \left(f_{n}\right) \) in \( \mathcal{F}(M) \)" 

Das "in" ist hier nicht im Sinne von "∈" gemeint. Man sagt ja auch

schon mal " eine Folge in ℝ" wenn man von einer Folge reeller

Zahlen spricht.

Hier soll also "\( \left(f_{n}\right) \) in \( \mathcal{F}(M) \)" bedeuten, dass es

sich um eine Folge von Funktionen handelt und diese Funktionen

sind selber alle Funktionen in der Menge \( \mathcal{F}(M) \) .

Die Funktionenfolge selber ist aber eine Abbildung von ℕ nach \( \mathcal{F}(M) \) .

Comments

Danke für die Antwort, damit hat sich meine Frage erledigt :)