Aloha :)
Wurzeln sind in \(\mathbb R\) immer als positive Zahlen definiert, daher ist \(\sqrt{64}=8\). Du darfst die Wurzel nicht mit der Lösung der Gleichung \(x^2=64\) verwechseln. Bei einer solchen Gleichung kann \(x=-8\) oder \(x=8\) sein, daher schreibt man bei der Lösung einer solchen Gleichung in der Regel ein Plus-Minus-Zeichen vor die Wurzel.$$x^2=64\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{64}=\pm8$$
Die Wurzel \(\sqrt[3]{x^2}\) existiert für jedes \(x\), weil das \(x\) unter der Wurzel vor dem Wurzelziehen quadriert wird und daher die Wurzel aus einer positiven Zahl \(x^2\ge0\) gezogen wird. Die weitere Umformung zu \(x^{2/3}\) ist nur für \(x\ge0\) korrekt, weil dabei die Information verloren geht, dass vor dem Wurzelziehen quadriert werden muss. Man kann das aber heilen, indem man die "Wirkung" des vorhergehenden Quadierens (dass nämlich keine negativen Vorzeichen auftauchen) vorwegnimmt und stattdessen \(|x|^{2/3}\) schreibt. Diese Umformung gilt dann auch für negative \(x\).
Der Ausdruck \(\sqrt{x^3}=x^{3/2}\) ist nur für \(x\ge0\) definiert, hier haben negative \(x\) keine Chance. Der Wert \(x\) wird vor dem Wurzelziehen zu \(x^3\), dabei bleibt aber ein eventuell vorhandenes negatives Vorzeichen erhalten. Und die Quadrat-Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es in \(\mathbb R\) nicht.
