Gesucht ist die Höhe der Pyramide (Vektorrechnung)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Pyramide:

1) dabei ist ABCD die Grundfläche als Parallelogramm dargestellt.

2) der Punkt E die Sitze

\( A=\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 1\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), \quad \) und \( \quad E=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 3\end{array}\right) \)

A1)  Berechnen Sie die Höhe von der Spitze auf die Grundfläche.

Problem/Ansatz:

ich soll hier die höhe von Punkt E auf die  Grundfläche berechnen, ich habe es mit dem Satz dem Pythagoras versucht, allerdings ohne Erfolg. Wie kann ich da anfangen?

Answer 1

Volumen des aufgespannten Spats durch die Grundfläche

ABS((([2, 0, 4] - [1, -3, 1]) ⨯ ([1, 1, -2] - [1, -3, 1]))·([3, 3, 3] - [1, -3, 1])) / ABS(([2, 0, 4] - [1, -3, 1]) ⨯ ([1, 1, -2] - [1, -3, 1])) = 8/233·√466 = 0.7412

Oder

Normalenvektor der Grundfläche

N = ([2, 0, 4] - [1, -3, 1]) ⨯ ([1, 1, -2] - [1, -3, 1]) = -[21, -3, -4]

Ebene der Grundfläche

F: 21·x - 3·y - 4·z = 26

Gerade durch E senkrecht zu Ebene

g: X = [3, 3, 3] + r·[21, -3, -4]

Schnittpunkt zwischen Gerde g und Ebene F

21·(21·r + 3) - 3·(3 - 3·r) - 4·(3 - 4·r) = 26 --> r = - 8/233

Abstand E von F

d = 8/233·|[21, -3, -4]| = 0.7412