Zeigen Sie, dass für die Mächtigkeit einer Potenzmenge die folgende Aussage gilt:

Question

Aufgabe:

Es sei X eine Menge mit |X| = n und seien 0 ≤ r ≤ k ≤ n. Betrachte
$$ \mathfrak{P}_{k,r}(x)  := \left\{ (A, B) | A ⊆ B ⊆ X ,\text{ }|A| = r , |B| = k \right\} $$

Zeigen Sie, dass

$$ \left|\mathfrak{P}_{k,r}(x) \right | =\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k\\r \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

Ich weiß eigentlich gar nicht, wie und was ich hier zeigen soll, weil das ja eigentlich klar ist. Wenn ich aus einer Menge mit n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen auswähle und sämtliche Teilmengen berücksichtigen muss, dann ist das ja exakt die Kombination der beiden Kardinalitäten.

Comments

\( \left|\mathfrak{P}_{k,r}(x) \right | := \left\{ (A, B) | A ⊆ B ⊆ X ,\text{ }|A| = r , |B| = k \right\} \)

Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht eine Menge.

\( \left|\mathfrak{P}_{k,r}(x) \right | =\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k\\r \end{pmatrix} \)

Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht eine Zahl.

In beiden Gleichungen steht \(\left|\mathfrak{P}_{k,r}(x) \right |\) auf der linken Seite.

Da stimmt irgendetwas nicht.

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Oh richtig, die Betragstriche in der ersten Zeile um die Potenzmenge müssen weg, danke für das Bescheid geben und darüber schauen. Leider geht das nicht mehr zu ändern. Ich wünsche noch einen schönen Abend und ein schönes Wochenende. Und alle, die das hier lesen:

Bleibt gesund.