Konvergenz von folge |an+1| < |an|

Question

Aufgabe:

Es sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen. Zeige oder widerlege die folgenden Aussagen:
a) Gilt |an+1| < |an| für alle n ∈ N, so ist (an)n∈N konvergent.
b) Existiert ein L < 1 mit |an+1| <= L |an| für alle n ∈ N, so ist (an)n∈N konvergent.

Problem/Ansatz:

Vielleicht könnt ihr mir da helfen, wie ich dies zeigen soll.. leider stehe ich da voll auf dem Schlauch und hab keinen Lösungsansatz. Meine Überlegungen sind, dass b) nicht stimmt, da man für L bspw. eine negative Zahl ist und somit L*|an| immer negativ wär

Answer 1

L kann gar nicht negativ sein, weil

|an+1| <= L |an| dann gar nicht möglich wäre.

a)

nachträgliche Korrektur: "kannst du mit einer Folge widerlegen, die z.B. von oben gegen 1 konvergiert."

ist falsch. Richtig wäre:

a) kannst du mit einer alternierenden Folge widerlegen, bei der die Teilfolge mit geraden Indices von oben gegen 1 und die Teilfolge mit ungeraden Indices von unten gegen -1 konvergiert.

b) ist ein verklausuliertes Quotientenkriterium.

Comments

b) ist ein verklausuliertes Quotientenkriterium.

Naja, eigentlich ist es die gewöhnlich Formulierung desselben.

@louise.11 und Nachtrag zur Antwort:

Für den Beweis von b) ist das Majorantenkriterium (finde ich) das eleganteste Hilfswerkzeug.