Untersuche die Folge (an = qn) reeller Zahlen auf Konvergenz

Question

Aufgabe: Untersuche die Folge (a_n = qⁿ) reeller Zahlen auf Konvergenz

Problem/Ansatz:

Hallo,

ich habe ein Paar Verständnis Probleme bei dieser Aufgabe.

hier ist q eine beliebige reelle Zahl.

Ich habe ein wenig nachgeforscht und bin darauf gestoßen, dass diese Folge verschieden konvergiert. Außer ich habe etwas nicht richtig verstanden...

Ich soll die Konvergenz mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung nachweisen: Für alle x> -1 und n element N₀ :

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Fall 1: q > 1

         \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ = +∞

          -> divergent, uneigentlich konvergent

Fall 2: q = 1

         \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ = 1

          -> konvergiert gegen 1

Fall 3: 0 < q < 1 -> a_n = \( \frac{1}{|q|ⁿ} \)

         \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ = 0

         hier verstehe ich nicht recht wie ich die Bernoulli Ungleichung                verwenden kann, um nach unten abzuschätzen

Fall 4: q < -1

         Fall 4.1: \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ  = +∞ (n gerade)

         Fall 4.2: \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ = -∞ (n ungerade)

Fall 5: -1 < q ≤ 0

         \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ = 0

          hier wieder mit bernoulli

Fall 6: q = -1

         Fall 4.1: \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ = +∞ (n gerade)

         Fall 4.2: \( \lim\limits_{n\to\infty} \) qⁿ = -∞ (n ungerade)

Also ich verstehe nicht wie ich an hand der bernoulli Ungleichung nachweisen soll, ob diese Folge konvergent ist oder nicht.

Ich freue mich über jede Korrektur.

Schöne Grüße :D

Comments

vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Answer 1

Zur Verwendung von Bernoulli:

im Falle \(q>1\) ist \(q=1+x\) mit \(x>0\).

Bernoulli liefert

\(q^n=(1+x)^n\geq 1+nx\). Nun kannst du \(nx\to\infty\) für \(n\to\infty\)

verwenden.

Den Fall \(0<q<1\) führst du auf den ersten Fall zurück:

\(1/q> 1\).

Comments

Vielen Dank.

heißt das, dass ich die bernoulli ungleichung nur für q > 1 verwenden kann?? Es ist ja divergent wegen ∞, oder?

Und stimmen die anderen Begründungen?

LG

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heißt das, dass ich die bernoulli ungleichung nur für q > 1 verwenden kann?? Es ist ja divergent wegen ∞, oder?

Ich würde die Bernoulli Ugl. nur in diesem Falle anwenden und die
anderen Fälle darauf zurückführen, wo es sinnvoll ist.
Ansonsten hast du m.E. alle Fälle hinreichend abgehandelt.