Konvergenz des Cauchy Produkts zweier einfacher Reihen beweisen

Question

Aufgabe:

Beweise dass das Cauchy Produkt von

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{k} \text{ und } \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{k}$$ absolut konvergiert wobei $$a_{0} = -1 \text{ und } a_{k\geq 1 } =  1 \text{ sowie  } b_{0}= 2 \text{ und } b_{k\geq 1 } = 2^{k}$$

Problem/Ansatz:

b0 = b1   b0+b1 = b2   b0+b1+b2 = b3 ....

Ich habe einfach argumentiert:
"Man sieht dass die "b-Glieder", da sie immer eine k-Potenz von 2 sind, durch die Addition ihrer vorherigen Glieder erzeugt werden können. Da das Größte Glied bk in einer Klammer [ a0b0 + (-b1+b0) + (-b2+b1+b0) +... ]  immer negativ ist bleibt nur der Anfang a0b0 = -2 über."

Und damit das Cauchy-Produkt natürlich (absolut) konvergiert da der Betrag nichts an der Rechnung verändert. Kann ich das so machen/ reicht das?

Comments

Aller Wahrscheinlichkeit stimmen die Indizes nicht. Du summierst über \( n\) in der Summe steht aber \(k \) als Index.

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Aller Wahrscheinlichkeit existieren die unendlichen Reihen gar nicht.

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Ich kann aber formal die Koeffizienhten des Cauchy-Produkts berechnen und schauen ob die resultierende Reihe konvergiert.

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oh ja stimmt bei den Indizien habe ich natürlich einen Fehler gemacht, mb!

warum sollten die unendlichen Reihen nicht existieren?

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bei der ersten addiert Du unendlich oft die 1 und bei der zweiten unendlich oft \( 2^k \)

Answer 1

Nehmen wir mal an, Du meinst folgende Reihen \( \sum_{k=0}^\infty a_k \) und \( \sum_{k=0}^\infty b_k \)

Die Koeffizienten des Cauchy-Produkts berechnen sich dann zu $$ c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} $$

Ausgeschrieben bedeutet das $$ c_n = a_0b_n + \sum_{k=1}^{n-1} a_k b_{n-k} + a_nb_0 $$ für \( n \ge 1 \) gilt

$$ c_n = -2^n+\sum_{k=1}^{n-1} 2^{n-k} + 2  $$ Für die Summe gilt (geometrische Reihe)

$$ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{n-k} = 2^n-2 $$

Alles zusammengesetzt ergbit

$$ c_n = -2^n+2^n-2+2=0 $$ und für \( n=0\) gilt \( c_0 = -2 \)

Also gilt $$ \sum_{n=0}^\infty c_n = c_0 = -2 $$

Comments

Hey danke schon mal für deine Antwort, also meinst du ich sollte das lieber (nochmal) so aufschreiben als "nur" so zu argumentieren wie ich es getan habe? Und warum muss man nur + anb0 für den letzten Summanden bei cn addieren? Von meinem Verständnis des Cauchy-Produkts müsste da doch "von a0bn bis anb0 aufsummiert" werden?

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Ist es ja auch. Ich habe die Summe nur aufgeteilt in \( k=0\), und \( k=0 \cdots n-1 \) und \( k = n \)

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Ja meine Frage war eben warum für k = n nur +anb0 da steht da ich dachte dass dafür eher sowas kommen müsste : $$(a_{0}b_{n}a_{1}+b_{n-1} +...+ a_{k}b_{n-k} +  ... + a_{n}b_{0})$$

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Die Summe $$ c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} $$ besteht aus Summanden , die jeweils aus einem Produkt aus zwei Zahlen bestehen. Also wie soll für \( k = n \) plötzlich ein Summand eine Summe aus \( n \) Summanden werden? Schreib Dir das dochmal für \( n = 4 \) explizit hin.

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Ahh, ja danke dir, habe das mit dem Cauchy-Produkt selbst verwechselt

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Genau, richtig erkannt