Hallo, mir liegt diese Aufgabe zu Funktionentheorie vor: Für \( \sigma \in \mathbb{C} \) definieren wir die Funktion
\( f_{a}: \mathrm{C} \backslash(-\infty, 0] \rightarrow \mathbb{C}, z \mapsto f_{\sigma}(z)=e^{\sigma \operatorname{Lin}(z)} \)
wobei Ln der Hauptzweig des Logarithmus ist.
Ich muss hierbei folgendes zeigen:
(a) Für \( n \in \mathbb{Z} \) gilt \( f_{n}(z)=z^{n} \)
(b) Für \( \sigma \in \mathbb{C} \) gilt \( \int \limits_{\sigma}^{\prime}=\sigma f_{\sigma-1} \)
(c) Für \( \sigma, \tau \in \mathbb{C} \) gilt \( f_{\sigma} f_{\tau}=f_{\sigma+\tau} \)
(d) Für alle \( \sigma \in[-1,1] \) und \( \tau \in \mathbb{C} \) gilt \( f_{\tau} \circ f_{\sigma}=f_{\tau \sigma} \)
(c) Gilt Teil (d) auch für beliebige \( \sigma \in \mathbb{C} \). Führen Sie einen Beweis durch oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
Wisst ihr wie ich hier vorzugehen habe und das löse?
