Hallo, habe diese Aufgabe bekommen. Kann mir jemand bitte helfen, ich komme gar nicht weiter :/
Berechnen Sie das Integral
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \)
auf folgende Weise: Sei \( R>2, \) und \( \gamma_{R} \) der geschlossene Weg, der von \( -R \) nach \( R \) auf der reellen Achse, und dann entlang eines Halbkreises mit Radius \( R \) in der oberen Halbebene zurück zu \( -R \) geht. Berechnen Sie \( \int \limits_{\gamma_{R}}\left(1+z^{2}\right)^{-1} \mathrm{~d} z \) mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel (man beachte \( \left.1+z^{2}=(z+i)(z-i)\right) \) und führen Sie dann den Grenzübergang \( R \rightarrow \infty \) durch.
Ich habe gedacht, dass man hier folgende Verallgemeinerung des Zentrierungslemmas benutzen kann: Wenn \( f:\left\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} z>-\frac{1}{2}\right\} \backslash\{i\} \rightarrow \mathbb{C} \) holomorph ist, dann ist \( \int \limits_{\gamma_{R}} f(z) \mathrm{d} z=\int \limits_{|z-i|=1} f(z) \mathrm{d} z \)
Ich muss des Weiteren mich versichern, dass das Ergebnis korrekt ist, indem ich mich an die Stammfunktion von \( \left(1+x^{2}\right)^{-1} \) erinnere, und das Integral direkt ausrechnen kann.
