Aufgabe:
Es sei (Q,P(Q)) ein Messraum und I := {I ∩ Q | I ⊂ R offenes Intervall}. Zeigen Sie:
i) P(Q) = σ(I) und I ist ∩-stabil.
ii) Durch µ1, µ2 : P(Q) → [0, ∞] mit µ1(A) := #A und µ2(A) := 0, A = ∅; µ2(A) =∞, sonst (A ∈ P(Q)) sind zwei Maße auf (Q,P(Q)) definiert.
iii) Es gilt µ1|I = µ2|I .
iv) Ist dies ein Widerspruch zum Maßeindeutigkeitssatz ?
Problem/Ansatz:
Hey :)
Bräuchte bei der Aufgabe unbedint Hilfe, da ich keinen richtigen Ansatz finde. Ist I nicht sowieso schon schnittstabil, da die Menge I schon aus dem Schnitt von den offenen Intervallen und den rationalen Zahlen besteht? Und was soll mit P(Q) = σ(I) konkret gezeigt werden, etwa dass P(Q) eine Sigmaalgebra ist?
ii) hier hatte ich schonmal eine solche ähnliche Aufgabe, wobei ich hier aber nicht genau weiß, wie ich zeigen kann dass hier die Additivität für die beiden nu´s gegeben ist.
