Konvergenzradius Potenzreihe x^n^2

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius \( r \) der beiden Potenzreihen

$$ f(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} x^{n} \quad \text { und } \quad g(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n^{2}}}{2^{n}} $$

und untersuchen Sie, ob die Potenzreihen für Zahlen \( x \) am Rand des Konvergenzbereichs, das heißt \( |x|=r, \) konvergieren.

Ansatz/Problem:

Ich habe eine Frage bezüglich g(x) und zwar wie ich den Konvergenzradius davon bestimme. In der allgemeinen Potenzreihenform haben wir ja prinzipiell nur x^n stehen , in g(x) steht jetzt allerdings x^n^2 da. Meine Frage ist nun: Muss ich das vorher irgendwie umschreiben und wenn ja, wie? oder kann man wie gewohnt damit rechnen?

Comments

Hallo,

steht da

$$x^{(n^2)}$$ oder $$(x^n)^2$$

---

hallo,

ich meine Ersteres, als x hoch n und nur das n zum Quadrat :)

Answer 1

Hallo,

dann kannst Du die Sache so angehen: Es handelt sich um eine Potenzreihe \(\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k\) mit den Koeffizienten

$$a_k=2^{-n} \text{  falls } k=n^2$$

und \(a_k=0\) sonst, also für alle k, die nicht Quadratzahl sind. Jetzt verwenden wir die Formel von Cauchy-Hadamard und haben für \(k=n^2\)

$$\sqrt[k]{a_k}=\left( \frac{1}{2^n}\right) ^{\frac{1}{n^2}}=\left( \frac{1}{2}\right) ^{\frac{1}{n}}$$

Letzteres konvergiert gegen 1. Und für die anderen k ist \(\sqrt[k]{k}=0\). Damit ist der Limessuperior von \(\sqrt[k]{k}\) = 1.

Gruß