Aloha :)
Für den Konvergenzradius sind die Koeffizienten ausschlaggebend:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{3^n}{4n^2}}{\frac{3^{n+1}}{4(n+1)^2}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{3^n}{4n^2}\cdot\frac{4(n+1)^2}{3^{n+1}}\right|$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{3^n}{3^{n+1}}\cdot\frac{4(n+1)^2}{4n^2}\right|=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)^2}{n^2}\right|=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\right|$$$$\phantom{r}=\frac{1}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\right|=\frac{1}{3}$$Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac{1}{3}\).
Für welche \(x\) konvergiert die Reihe nun?$$\left.\left|x-\frac{1}{3}\right|<r\quad\right|\quad r\text{ einsetzen}$$$$\left.\left|x-\frac{1}{3}\right|<\frac{1}{3}\quad\right|\quad\text{umformen}$$$$\left.-\frac{1}{3}<x-\frac{1}{3}<\frac{1}{3}\quad\right|\quad+\frac{1}{3}$$$$\left.0<x<\frac{2}{3}\quad\right.$$Es kann sein, dass die Reihe auch für die "Ränder" \(x=0\) und \(x=\frac{2}{3}\) konvergiert. Das muss aber separat geprüft werden.
