Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe \sum \limits_{k=1}^{\infty} …

Question

Aufgabe:

(a) Untersuchen Sie die unendliche Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(k !)^{2}}{(2 k) !} \) auf Konvergenz.
(b) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}\left(2+(-1)^{k}\right)^{k} z^{k} \)

Answer 1

Hallo,

a) Mittels Quotientenkriteriums bekommst Du 1/4 als Lösung < 1 -- -->Reihe konvergiert.

\( \lim\limits_{k\to\infty} \)  |a _k+1/a _k|         

_Beachte:

_{(k+1)! =(k+1) k! und}

_{(2(k+1))! = (2k)! (2k+1)(2k+2)}

zum Schluss bekommst Du den Ausdruck:

=(k+1)/(2(2k+1)) =1/4