Nochmal Aloha ;)
a.i) Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und(!) nach unten beschränkt ist. Betrachte die Folge$$a_n=-n\quad;\quad n=1,2,3,\ldots$$Sie ist nicht nach unten beschränkt. Für die Folge \(e^{a_n}\) gilt jedoch:$$0<e^{a_n}=e^{-n}=\frac{1}{e^n}\le\frac{1}{e^1}=\frac{1}{e}$$Wir haben also ein Gegenbeispiel für die Behauptung gefunden. Die Folge \((e^{-n})\) ist beschränkt, die Folge \((-n)\) aber nicht.
a.ii) Sei \(a_n\) monoton fallend, d.h. \(a_{n+1}\le a_n\). Dann gilt auch:$$e^{a_{n+1}}\le e^{a_n}\quad\Rightarrow\quad (e^{a_n})\text{ ist auch monoton fallend}$$Wegen \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) und \(a_n\le a_1\) gilt außerdem:$$0<e^{a_n}\le e^{a_1}\quad\Rightarrow\quad(e^{a_n})\text{ ist beschränkt.}$$Jede monotone, beschränkte Folge konvergiert. Daher gilt die Behauptung.