Berechnen Sie folgenden Grenzwert, sofern er existiert.

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) Ist die Folge \( \left(e^{a_{n}}\right) \) beschränkt, so ist auch \( \left(a_{n}\right) \) beschränkt.
(ii) Ist \( \left(a_{n}\right) \) monoton fallend, so ist die Folge \( \left(e^{a_{n}}\right) \) konvergent.
(b) Berechnen Sie folgenden Grenzwert, sofern er existiert.
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{(\sin (x))^{2}} $$

Answer 1

Aloha :)

Du kannst mit \(\sin^2x+\cos^2x=1\) und der dritten binomischen Formel den Nenner umschreiben:$$\frac{1-\cos x}{\sin^2x}=\frac{1-\cos x}{1-\cos^2x}=\frac{\cancel{1-\cos x}}{\cancel{(1-\cos x)}(1+\cos x)}=\frac{1}{1+\cos x}\stackrel{(x\to0)}\to\frac{1}{2}$$

Comments

vielen Dank   hast Idee fur aufgaben (a)

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Nochmal Aloha ;)

a.i) Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und(!) nach unten beschränkt ist. Betrachte die Folge$$a_n=-n\quad;\quad n=1,2,3,\ldots$$Sie ist nicht nach unten beschränkt. Für die Folge \(e^{a_n}\) gilt jedoch:$$0<e^{a_n}=e^{-n}=\frac{1}{e^n}\le\frac{1}{e^1}=\frac{1}{e}$$Wir haben also ein Gegenbeispiel für die Behauptung gefunden. Die Folge \((e^{-n})\) ist beschränkt, die Folge \((-n)\) aber nicht.

a.ii) Sei \(a_n\) monoton fallend, d.h. \(a_{n+1}\le a_n\). Dann gilt auch:$$e^{a_{n+1}}\le e^{a_n}\quad\Rightarrow\quad (e^{a_n})\text{ ist auch monoton fallend}$$Wegen \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) und \(a_n\le a_1\) gilt außerdem:$$0<e^{a_n}\le e^{a_1}\quad\Rightarrow\quad(e^{a_n})\text{ ist beschränkt.}$$Jede monotone, beschränkte Folge konvergiert. Daher gilt die Behauptung.

Answer 2

L'Hospital:

sin(x)/(2*sin(x)*cos(x)) = 1/(2*cos(x)) = 1/2 für x=0