IKann wer mir bei diesem Übungsblatt helfen? Brauche hier die volle Punktzahl um die Zulassung für die Prüfung zu bekommen. Ich weiß, ich muss es selber hinbekommen aber leider habe ich keine Nachhilfe gefunden und jetzt habe ich keine Zeit mehr um die Aufgaben abzugeben.
Text erkannt:
Aufgabe 12.1:
Wir betrachten die folgenden reellen Matrizen
$$ A=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & -2 \\ -5 & 5 & -5 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R}) $$
Bestimmen Sie für diese vier Matrizen jeweils eine inverse Matrix, sofern diese existiert. Bestimmen Sie dann alle regulären aus zwei Faktoren bestehenden Produkte aus den vier gegebenen Matrizen und bestimmen Sie auch für diese die inverse Matrix.
Aufgabe 12.2 :
In dieser Aufgabe schreiben wir wieder kurz aber ungenau \( k \) für die Klasse \( [k]_{5} \in \mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z} \). Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix und geben Sie die inverse Matrix an, sofern diese existiert.
$$ \left(\begin{array}{llllll} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right) \in M_{6}(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}) $$
Aufgabe 12.3 :
Es seien \( K \) ein Körper, \( m, n, s \in \mathbb{N} \) und \( A, C \in M_{m \times n}(K) \) sowie \( B \in M_{n \times s}(K) \).
(a) Zeigen Sie: Rang \( (A+C) \leq \operatorname{Rang}(A)+\operatorname{Rang}(C) \). Seien nun \( A, C \in M_{m \times n}(K) \)
Matrizen mit \( A, C \neq 0 \). Gilt für solche Matrizen immer Rang \( (A+C)<\operatorname{Rang}(A)+ \) Rang \( (C), \) oder gibt es solche Beispiele mit Rang \( (A+C)=\operatorname{Rang}(A)+\operatorname{Rang}(C) ? \) Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Zeigen Sie: Rang \( (A B) \leq \min \{\operatorname{Rang}(A), \) Rang \( (B)\} . \) Geben Sie zusätzlich Beispiele für \( A \) und \( B \) an, für die Rang \( (A B)<\min \{\operatorname{Rang}(A), \operatorname{Rang}(B)\} \) gilt.
(c) Zeigen Sie:
$$ \operatorname{Rang}(A B)=\operatorname{Rang}(B)-\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kern} L_{A} \cap \operatorname{Bild} L_{B}\right) $$
Aufgabe 12.4 Es sei \( K \) ein Körper und \( n \in \mathbb{N} \)
(a) Es sei \( A \in M_{n}(K) \). Zeigen Sie, dass \( A \) genau dann nicht invertierbar ist, wenn ein \( B \in M_{n}(K) \backslash\{0\} \) mit \( A B=0 \) existiert.
(b) Es sei \( C \in M_{2}(K) \) ein invertierbare Matrix. Zeigen Sie, dass \( C \) Produkt von höchtens
4 Elementarmatrizen ist.
