Berechnen Sie die inverse Matrix der beiden folgenden Matrizen, jeweils im gegebenen Matrixring:

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 21
Berechnen Sie die inverse Matrix der beiden folgenden Matrizen, jeweils im gegebenen Matrixring:
\( \left(\begin{array}{ccc} 1-i & 0 & i \\ 2 i & 2-i & -2 \\ 0 & -i & 1 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{C}) \text { und }\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 6 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}) \)

Problem/Ansatz:

also grundsätzlich weiß ich wie man das berechnet also mit gaußverfahren und daneben Einheitsmatrix und dann nochmal Gauß verkehrt dass man wieder ne Einheitsmatrix bekommt, leider kann ich hier meine handschriftlichen Notizen nicht reinschicken mit den Schritten, auf jeden Fall kommt was falschen raus bei mir... könnte mir wer weiterhelfen was hier die inverse Matrix ist? (habs auch schon mehr als nur einmal berechnet aber irgendwas dürft ich wohl immer falsch machen)

Answer 1

\( \left(\begin{array}{ccc} 1-i & 0 & i&1&0&0 \\ 2 i & 2-i & -2&0&1&0 \\ 0 & -i & 1 &0&0&1 \end{array}\right) \)

1.Zeile mal -1+i

\( \left(\begin{array}{ccc} 2i & 0 & -1-i&-1+i &0&0 \\ 2 i & 2-i & -2&0&1&0 \\ 0 & -i & 1 &0&0&1 \end{array}\right) \)

Dann 2. Minus 1.

Dann 3. Zeile mal 1+2i

Comments

ja so hab ichs auch gemacht bei stimmt die inverse trotzdem nicht...

Answer 2

Die, oder eine, ganze Geschichte

Ep(z,s,k) := Zeile z += k Zeile s

IP:{Ep(1,1,1/(1-ί )),Ep(1,3,-ί ),Ep(2,2,1/2),Ep(2,3,2-ί ),Ep(3,3,2/(1-2ί )),Ep(3,2,ί /2),Ep(2,3,-1),Ep(2,1,-2ί /(1-ί))};

\(\scriptsize IP:= \left(\begin{array}{rrr}\frac{1 + i}{2}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&-i\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&2 - i\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\frac{2 + 4 \; i}{5}\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{i}{2}&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\1 - i&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \)

\(=IP\cdot (A,E) \, =  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&\frac{7 + 9 \; i}{10}&\frac{-1 + 3 \; i}{10}&\frac{7 - i}{10}\\0&1&0&\frac{3 + i}{5}&\frac{1 + 2 \; i}{5}&\frac{3 + i}{5}\\0&0&1&\frac{-1 + 3 \; i}{5}&\frac{-2 + i}{5}&\frac{4 + 3 \; i}{5}\\\end{array}\right)\)