Zeigen Sie, dass für die Potenzreihe P(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an xn} gilt:

Question

Aufgabe:

Sei a₀ = 0 und a_n+1 = 2a_n + 1 für n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für die Potenzreihe P(x) =

 \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} \) gilt:

a) Der Konvergenzradius ist r(P) = \( \frac{1}{2} \)

b) Für |x| < \( \frac{1}{2} \) gilt P(x)  = \( \frac{x}{(1-2x)·(1-x)} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir bereits überlegt das die Reihe folgendermaßen aussieht:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(2^n -1)x^n} \)

Auch Teil a) habe ich bereits.

Jedoch stehe ich bei Teil b) auf dem Schlauch.

Answer 1

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(2^n -1)x^n}  = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(\left(2x\right)^n -x^n\right)} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(2x)^n - \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\).

Dann Formel für die geometrische Reihe verwenden.

Answer 2

Hallo

du hast die Differenz von 2 geometrischen Reihen mit den Summanden (2x)^n und x^n, deren summen kennst du, dann bring die Differenz auf den Hauptnenner.

Gruß lul