Zeigen Sie, dass die Reihen \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} und \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} divergieren, ihr …

Question

Text erkannt:

(a) Sei \( q \in(-1,1) \). Man finde eine Folge \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) mit \( c_{n} \neq 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \), sodass
$$ \frac{1}{(1-q)^{2}}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} q^{n} $$
(b) Es sei \( a_{0}=-1, b_{0}=2, a_{k}=1 \) und \( b_{k}=2^{k} \) für \( k \geq 1 \). Zeigen Sie, dass die Reihen \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \) divergieren, ihr Cauchy Produkt jedoch nicht.

Grüß

Comments

Hallo,

es gibt verschiedene Wege, a) zu zeigen. Vom Aufgabenzusammenhang vermute ich, Ihr soll das Cauchy-Produkt benutzen. Also

$$(1-q)^{-2}=\frac{1}{1-q}\frac{1}{1-q}$$

Jetzt kannst Du beide Faktoren auf der rechen Seite durch die geometrische Reihe ersetzen und deren Cauchy-Produkt ausrechnen.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Hallo

a) du weisst $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}\text{ und }(\frac{1}{1-q})'=\frac{1}{(1-q)^2}$$ das sollte reichen.

b) warum bildest du das Cauchyprodukt nicht einfach  und siehst dir die Summe cn an. benutze 2^n-k=2^n/2^k

Gruß lul