Zeigen Sie: Die Reihe \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} konvergiert genau dann, wenn ...

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen, d.h. für jedes \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( 0 \leq a_{n+1} \leq \) \( a_{n} \). Zeigen Sie:

1. Die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) konvergiert genau dann, wenn die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \) konvergiert.
2. Ist die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) konvergent, so gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \).
3. Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \sqrt{k}} \) konvergent ist.

Ansatzt: Dazu soll man fur 2 und 3, 1 verwenden, hat wer vielleicht eine idee dazu?

Answer 1

Hallo,

für \(2^k \leq n < 2^{k+1}\) gilt: \(na_n \leq 2^{k+1}a_{2^k}=2 \cdot 2^ka_{2^k}\)

Wenn also die Reihe über die \(a_n\) konvergiert, konvergiert nach (1) auch die Reihe über \(2^ka_{2^k}\); diese Folge geht also gegen 0 und damit auch \(na_n\).

Was (3) angeht: Wenn \(a_k=\frac{1}{k \sqrt{k}}\) ist, kannst Du dafür sicher den Term \(2^ka_{2^k}\) aufstellen und vereinfachen.

Gruß Mathhilf