Zeige, dass (bn)n∈N := (max{an, an})n∈N

Question

Aufgabe:

Betrachte zwei konvergente Folgen (an)n∈N und (an)n∈N. Zeige, dass
(bn)n∈N := (max{an, an})n∈N
konvergent ist mit Grenzwert max {limn→∞ an, limn→∞ an}

.
(ii) Es sei A eine Menge endlich vieler konvergenter Folgen. Wir definieren nun die
Folge (bn)n∈N wie folgt:
bn := sup{an | (an)n∈N ∈ A}.
Zeige, dass (bn)n∈N konvergent ist mit
limn→∞ bn = sup {limn→∞ an | (an)n∈N ∈ A}

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, ich stehe da voll auf dem Schlauch und habt eine Idee/Ansatz, Dankeschön!

Answer 1

zu i) . Beide Folgen werden mit an bezeichnet, das ist verwirrend.

Ich nehme mal an mit Grenzwert a und cn mit Grenzwert c.

Wenn a=c dann ist auch max(a,c) = a (bzw. c ) . Sei ε>0.

Für hinreichend großes n liegen alle weiteren Folgenglieder bei

beiden Folgen in der ε-Umgebung von a bzw. c (Was ja das gleiche ist.)

und somit auch in deren Maxima. Also liegen alle

Folgenglieder von bn in der ε-Umgebung von b.

Sind a und c verschieden, dann ist eines größer als das andere,

sagen wir a>c. Dann sind für r hinreichend großes n alle

Folgenglieder von an in der Nähe von a und die von cn in der

Nähe von c. Also sind dann alle an > cn.

Somit ist für  hinreichend großes n auch immer max(an,cn)=an.

==>  bn ist konvergent mit Grenzwert a.