Wie viele unterscheidbare Wagenfolgen für einen Zug mit 4 Wagen 1. Klasse, 7 Wagen… sind möglich?

Question

Ich benötige eure hilfe bei folgender textaufgabe (oder wie man rangehen könnte)

ein zug besteht aus 4 wagen der 1. klasse, 7 wagen der 2. klasse, 1 speisewagen und 2 gepäckwagen.

wieiele unterscheidbare wagenfolgen sind möglich, ...

1. wenn die wagen beliebig miteinander verknüpft werden dürfen?

2. wenn die wagen der 1. klasse nicht getrennt werden dürfen?

hat jemand eine idee oder schon ähnliche aufgaben gelöst? es ist echt ...

danke!

Comments

4 erste klasse

7 zwote klasse

ein speise

zwei gepäck

ergibt sich
4+7+1+2 x 14

sollte das ergebnis sein

Answer 1

Nun, das rechnet man mit dem Multinomialkoeffizienten aus.

Wenn n Objekte angeordnet werden sollen, wobei diese in k Gruppen zu jeweils g₁, ... g_k ununterscheidbaren Objekten eingeteilt werden können, dann gibt es

n ! / ( g₁! * g₂! * ... * g_k! )

unterscheidbare Möglichkeiten der Anordnung.

Vorliegend können die n = 14 Wagen in k = 4 Gruppen eingeteilt werden (1. Klasse, 2. Klasse, Speisewagen, Gepäckwagen), es gibt:

g₁ = 4 Wagen 1.Klasse
g₂ = 7 Wagen 2.Klasse
g₃ = 1 Speisewagen und
g₄ = 2 Gepäckwagen

Es gibt also

14 ! / ( 4 ! * 7 ! * 1 ! * 2 ! ) = 360360

unterscheidbare Möglichkeiten, diese Wagen anzuordnen.

(Wären alle 14 Wagen unterscheidbar, dann gäbe es sogar 14 ! = 87.178.291.200 Anordnungsmöglichkeiten.)

 

Wenn die Wagen der 1. Klasse nicht getrennt werden dürfen, dann kann man diese als ein Objekt betrachten. Es gibt dann also nur noch n = 11 Objekte die in die 4 Gruppen eingeteilt werden können, und zwar

g₁ = 1 Wagengruppe 1. Klasse
g₂ = 7 Wagen 2. Klasse
g₃ = 1 Speisewagen und
g₄ = 2 Gepäckwagen

und somit nur noch

11 ! / ( 1 ! * 7 ! * 1 ! * 2 !  ) = 3960

unterscheidbare Möglichkeiten, diese Wagen anzuordnen.

Comments

@JotEs:

Schöne und lehrreiche Antwort - Pluspunkt!

Answer 2

Antwort a   da selbst wenn die erste Klasse zusammen bleibt noch mehrere Möglichkeiten offen bleiben