Schritt (1)
Bestimme die Normalform von \( A \) (hier Jordanform) und die entsprechende Transformationsmatrix. Also die Matrix \( S \) mit \( S^{-1} A S = J \)
Schritt (2)
Berechne \( e^{At} \). Aus der Reihenentwicklung der Exponentialform sieht man, dass \( e^{At} \) sich so berechnet. $$ e^{At} = S e^{Jt} S^{-1} $$ Jetzt noch daran denken, das gilt \( J = \lambda E + N \) mit \( \lambda \) ist Eigenwert von \( A \) und \( N \) ist eine nilpotente Matrix. Dann ergibt sich $$ e^{At} = S e^{(\lambda E + N)t} S^{-1} = S e^{\lambda E t} e^{Nt} S^{-1} $$
\( e^{\lambda E t } \) ist eine Diagonalmatrix mit Einträgen von \( e^{\lambda t} \) auf der Diagonalen. \( e^{Nt} \) kann man aus der Reihendarstellung der Exponentialfunktion leicht berechnen, da \( N \) nilpotent ist.
Schritt (3)
\( e^{At} \) mit dem Anfangsvektor multiplizieren ergibt die Lösung.