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Lösen Sie das Anfangswertproblem
$$ \dot{x}(t)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{array}\right) x(t), \quad x(0)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $$

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Die allgemeine Lösung für ein Systeme von Dgl. der Form \( \dot x(t) = A x(t) \) mit \(x(0) = x_0 \) lautet

$$ x(t) = e^{At} x_0 $$

D.h. berechne die Matrix \( e^{At} \) entweder über Reihenentwicklung oder über Diagonalisierung.

Kann man auch mit Wolfram Alpha machen. Hier mit Jordan Zerlegung arbeiten.

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Hallo, ich komme mit dem Ansatz leider nicht weiter. Kannst du mir vielleich noch ein bisschen auf die Sprünge helfen?

Grüße

Schritt (1)

Bestimme die Normalform von \( A \) (hier Jordanform) und die entsprechende Transformationsmatrix. Also die Matrix \( S \) mit \( S^{-1} A S = J \)

Schritt (2)

Berechne \( e^{At} \). Aus der Reihenentwicklung der Exponentialform sieht man, dass \( e^{At} \) sich so berechnet. $$ e^{At} = S e^{Jt} S^{-1} $$ Jetzt noch daran denken, das gilt \( J = \lambda E + N \) mit \( \lambda \) ist Eigenwert von \( A \) und \( N \) ist eine nilpotente Matrix. Dann ergibt sich $$ e^{At} = S e^{(\lambda E + N)t} S^{-1} = S e^{\lambda E t} e^{Nt} S^{-1} $$

\( e^{\lambda E t } \) ist eine Diagonalmatrix mit Einträgen von \( e^{\lambda t} \) auf der Diagonalen. \( e^{Nt} \) kann man aus der Reihendarstellung der Exponentialfunktion leicht berechnen, da \( N \) nilpotent ist.

Schritt (3)

\( e^{At} \) mit dem Anfangsvektor multiplizieren ergibt die Lösung.

Problem ist wir erhalten einen dreifachen Eigenwert λ=2. Ein Eigenvektor dazu ist t*(-1,1,1)^T mit t=1. wie finde ich 2 weitere?

Gehe nach diesem Schema vor

https://jp-g.de/Skripte/Jordan-Normalform.pdf

Damit berechnet sich die transformationsmatrix zu $$ S = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}  $$ und damit $$ S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}  $$

das verstehe ich jetzt nicht.

soweit ich weiß muss ich nun 2 weitere hauptvektoren finden.

ich wusste nicht mehr wie das geht.

aber nach kurzer recherche fand ich das:

https://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/diffgln/dgl1-06.pdf

hier steht

Kernmatrix = V_1 für einen weiteren hauptvektor v_2.

dann

Kernmatrix = v_2 für einen dritten

mfg

also da steht nur (M - Eλ)u = v_1


das hab ich gemacht und komme auf

-1 -1 0| -1

 0 1 -1| 0

 0 0 0 | 0

und aus 2. zeile folgt x_2 = x_3

aus der 3. kann ich x_3 = t setzen

und die erste lautet x_1 = -x_2 +1

mit t=1 komme ich auf


v_2 = (0,1,1)


ist das ein hauptvektor?

ok vergiss was ich oben geschrieben habe. 0,1,1 ist kein hauptvektor. habe die folgenden genommen.

hab was rausbekommen:

1111.jpeg

ist das richtig?

Ich habe folgende Hauptverktoren bekommen

$$  \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\-1\\-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $$

Das ist dann auch die Transformationsmatrix. Als Jordan Normalform bekommt man damit $$ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}  $$ Daraus berechnet sich dann die Matrix $$ e^{At}  $$ wie oben beschrieben und nach Multiplikation mit dem Anfangswert bekommt man

$$ x(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} 1-t\\t\\t \end{pmatrix} $$ Kann man dann nochmal durch einsetzten kontrollieren.

ok ich verstehe... danke sehr

ich verstehe das nicht

wie kommst du auf den hauptvektor/eigenvektor (1,0,0)?

Den hab ich doch gar nicht berechnet. Wie kommst Du darauf?

HastDu das mit dem Anfangswert verwechselt?

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