Aloha :)
\((b_n)\) ist eine beschränkte Folge, d.h es gibt eine Konstante \(c>0\), sodass \(|b_n|\le c\) für alle \(n\).
Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig, dann ist auch \(\varepsilon_1\coloneqq\frac{\varepsilon}{c}>0\). Da \((a_n)\) eine Nullfolge ist, gibt es per Definition ein \(n_1\in\mathbb N\), sodass gilt:$$|a_n|<\varepsilon_1\quad\text{für alle }n\ge n_1$$Für das Produkt aus der Nullfolge und der beschränkten Folge heißt das:$$|a_n\cdot b_n|=|a_n|\cdot|b_n|<\varepsilon_1\cdot c=\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon\quad\text{für alle }n\ge n_1$$Da \(\varepsilon>0\) beliebig gewählt war, ist also auch \((a_n\cdot b_n)\) eine Nullfolge.
