Beweis (anbn)neN sei eine 0 Folge ,mit an eine Nullfolge

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung (bild) zu lösen:

Meine Idee ist folgende; Da (bn)neN eine beschränkte Folge ist  bedeudet dass die Folge ist nach unten und oben beschränkt von einer Reellen Zahl.  Es kann einen Gw geben oder nicht , zb eine alternierende Reihe hat 2 häufungspunkte -1,1 , oder bn kann einen beliebigen Grenzwert in R haben.

Für den Fal bn hat einen Grenzwert würde ich die Regel verwenden (anbn)neN ergibt Grenzwert a*b wovon man ja weiß a=0 also ergibt das widerum 0 .

Für den Fall bn hat keinen Grenzwert kann man das denke ich nicht anwenden.

Könnte mir hier jemand weiterhelfen? Und mir sagen wie ich das beweisen könnte?

Answer 1

Sei C eine Schranke von |b_n|.

Dann ist |a_nb_n|  ≤C|a_n| und die Aussage folgt z.B. mit dem Sandwichtheorem.

Comments

Ok meinst du das so , wenn C|an| gegen 0 geht (wegen Grenzwert von an =0) und das für die untere schranke ebenso gemacht wird , also D|an| gegn 0 .

Dann gilt wegen der Einschliesungsregel : |an|*D<= |anbn|<=|an|*C
das auch |anbn| gegen 0 geht?

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Das ist wenn kannst du dir sparen, der Fall tritt defintiv ein. 

Und das was du D nennst ist schlicht 0, weil Beträge nicht negativ sind.

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Du meinst also die untere Schranke kann ich mir sparen weil |anbn|>= 0 ist aufgrund des betrages und |an|>=0?

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Ja, genau deswegen hab ich ja auch Beträge genommen.

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ah ok und ohne beträge müsste ich dann also eine weitere untere schranke definieren wie ich es vorher gemacht habe?

cool so spart man sich Arbeit :)

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Eine Schranke muss du nicht definieren die ist gegeben.

Und natürlich ist Sinn und Zweck sich Arbeit zu sparen, Arbeit sparen ist ein wesentlicher Antrieb in der Mathematik.