Sei (An)n eine Folge in R. Es gebe ein C>0 so ,dass |An|< C * 1/n. Zeige (An) ist Nullfolge.

Question

Brauchen hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei (An)n eine folge in R. Es gebe ein C>0 so , dass

|An| ≤ C * 1/n. Für alle n≥1

Zeigen sie , dass lim An= 0

Habe so überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll, konvergenz gennerell ist mir relativ klar, aber von so etwas steht überhaupt nichts im Script.

Comments

Hattet ihr Einschnürungssatz/Sandwichlemma schon? Dan ist es mehr oder weniger ein Einzeiler.

Ansonsten geht es auch sehr schnell über die Epsilon Defintion der Konvergenz.

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Wie jetzt also |An-a|< epsilon, wie kann ich daraus jetzt lim An = 0 schliesen?

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Das ist nicht die Defintion der Konvergenz, es fehlen unter anderem Quantoren.Es ist für jedes Epsilon eine natürliche N zu bestimmen so, dass ...Was ist mit dem Sandwichlemma?

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Sandwich lemma hatten wir noch nicht....

Answer 1

Sei (An)n eine folge in R. Es gebe ein C>0 so , dass

|An| ≤ C * 1/n. Für alle n≥1

Zeigen sie , dass lim An= 0
Die Definition sagt:

lim An= 0 ⇔ Zu jedem eps>o gibt es ein N mit aus  n>N folgt | A_n - o | < eps

hier also   | A_n - o | < eps
           ⇔   | A_n | < eps
       nun Gibt es aber ( nach Archimedes-Axiom) zu
jedem eps > 0 und zu jedem C>0 ein N mit  n>N ⇒ C/n < eps .

und mit diesem N gilt für alle n>N
                  | A_n | ≤ C*1/n = C/n  < eps .  q.e.d.