Konvergenz der rekursivenFolge (an)neN in R und Grenzwert aeR ist a^k=r

Question

Aufgabe:

Sei k∈ℕ mit k≥2 und sei r∈ℝ mit r≥1. Die Folge (a_n)_n∈ℕ in ℝ sei rekursiv definiert durch a₁  := r und a_n+1 := a_n - (a_n^k - r)/(ka_n^k-1) , n∈ℕ (soll ein Bruch sein)

Zeigen Sie, dass die Folge (a_n)_n∈ℕ in ℝ konvergiert und ihr Grenzwert a∈ℝ die Gleichung a^k =r erfüllt.

Hinweis: Mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung lässt sich zeigen, dass

(x-(x^k -r)/(kx^k-1))≥r. (Soll wieder ein Bruch sein auf der linken Seite)

für alle x>0 mit x^k ≥r gilt.

Problem/Ansatz:

Um die Konvergenz zu zeigen, muss man Monotonie und Beschränktheit zeigen.

Aber wie man das alles beweist und inwiefern mir die Bernoullische Ungleichung helfen soll, weiß ich leider nicht. Ich wäre wirklich sehr dankbar um Ansätze bzw. Erklärungen!