Aufgabe:
Es sei \( a>0 \). Zeige, dass die Folge \( \left(x_{n}\right) \) mit beliebigem \( x_{0}>0 \) und
\(x_{n+1}:=\frac{x_{n}^{2}+3 a}{3 x_{n}^{2}+a} \cdot x_{n} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \cup\{0\}\) kubisch gegen \( \sqrt{a} \) konvergiert.
Hinweis: (1) Evtl. ist eine Fallunterscheidung \( x_{0} \geq \sqrt{a} \) bzw. \( x_{0}<\sqrt{a} \) hilfreich.
(2) Eine Folge \( \left(x_{n}\right) \) heißt kubisch konvergent gegen den Grenzwert \( x^{*} \), falls für ein \( c \in(0, \infty) \) gilt: \( \left|x_{n+1}-x^{*}\right| \leq c \cdot\left|x_{n}-x^{*}\right|^{3} \).
Problem/Ansatz:
Mir fehlt der Ansatz bzw. die Herangehensweise.
Danke für alle Lösungshinweise!
