Parametrisiere eine Dreiecksfläche und deren Rand

Question

Aufgabe:

Sei D das Dreieck mit den Eckpunkten \( \begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 3\\0\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix} \).

Parametrisieren Sie die Dreiecksfläche und deren Rand. Achten sie bei der Parametrisierung des Randes darauf, dass alle Normalen nach außen zeigen.

Problem/Ansatz:

zunächst habe ich einmal den Rand parametrisiert zu:

γ₁ = \( \begin{pmatrix} 3t\\0\end{pmatrix} \)  t∈ [0, 1]

γ₂ = \( \begin{pmatrix} 3 - t\\t\end{pmatrix} \)  t∈ [0, 1]

γ₃ = \( \begin{pmatrix} 2 - 2t\\1 - t\end{pmatrix} \)  t∈ [0, 1]

Dies sollte soweit hoffentlich stimmen.

Allerdings habe ich keine Ahnung wie man Flächen parametrisiert, da diese bislang immer gegeben waren.

Zusätzlich weiß ich nicht wie man feststellen soll, ob alle Normalen nach außen zeigen.

Ich wäre über jede Hilfe sehr Dankbar!

Comments

Achten sie bei der Parametrisierung des Randes darauf, dass alle Normalen nach außen zeigen.

wie ist das zu verstehen? Sollst Du für den Rand (und für die Fläche?) die Normalenform einer Gerade nutzen?

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Alles wesentliche für diesen Aufgabenteil habe ich hinterlegt.

Gegeben war dann noch ein Vektorfeld F(x,y) = (xy, -0.5y²)

Diese Info ist aber nur wichtig für die anderen Aufgabenteile, in welchen man die Wirbelstärke und Quelldichte durch die Dreiecksfläche bestimmen soll.

Wie ich das verstehe soll man dafür sorgen, dass durch die Parametrisierung die Normalen jeder Seite nach außen zeigen und nicht eine nach Innen.

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Ich hab jetzt nochmal überlegt.

Wenn man bei einem Dreieck während einer Parametrisierung die Umlaufrichtung beibehält, müssten ja alle Normalen nach außen zeigen, wohingegen eine Normale nach Innen zeigen könnte, wenn ich mittendrin den Umlauf ändere, z.B.

Anstatt γ₃ = \( \begin{pmatrix} 2-2t\\1-t\end{pmatrix} \) nehme ich den umgekehrten Umlauf γ_{3 = \( \begin{pmatrix} 2t\\t\end{pmatrix} \)}

_{Dann wäre es nicht der Aufgabe entsprechend?}

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Sicher ist es richtig, die Umlaufrichtung beizubehalten. Bleibt noch zu überlegen, ob im mathematisch positiven oder negativen Drehsinn. Du hast den positiven (linksrum) Drehsinn gewählt.

Wenn man nun auf jede Kantenrichtung eine Normale ebenfalls im positiven Drehsinn stellt, so zeigt diese Normale nach innen.

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Ich schätze mal ich wende mich mit diesen Gedankengängen mal beim Tutor.

Vielen Dank :)

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Das ist die Abgabe für morgen. Sollte so stimmen, es sind aber auch andere Parametrisierungen möglich.

Answer 1

Aloha :)

Die Ebene, in der die Fläche liegt, kannst du wie folgt parametrisieren:$$E:\;\vec x=s\binom{3}{0}+t\binom{2}{1}\quad;\quad s,t\in\mathbb R$$Willst du nun sicherstellen, dass \(\vec x\) die Fläche des Dreiecks nicht verlässt, musst du die Wahlmöglichkeiten für \(s\) und \(t\) einschränken. Würden \(s,t\in[0;1]\) liegen, hätten wir das Rechteck, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird, wir müssen aber in der "Hälfte" bleiben, die das Dreieck aufspannt, daher lautet die Parametrisierung der Dreieckfläche:$$F:\;\vec x=s\binom{3}{0}+t\binom{2}{1}\quad;\quad s\in[0;1]\;;\;t\in[0;1-s]$$Dadurch stellen wir sicher, dass \(0\le s+t\le1\) gilt.

Comments

Vielen Dank :)

Ich hatte bei der Fläche dann "nur" den Wertebereich falsch festgelegt,

was bei einer Parametrisierung aber gerade wichtig ist.

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Das ist das entscheidende, sonst läuft dein \(\vec x\) irgendwo im Gelände rum, wo er nicht hin soll. Das wird später sehr wichtig, wenn es um Integralrechnung mit mehreren Variablen geht.

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Hallo Tschaka,

Zusätzlich weiß ich nicht wie man feststellen soll, ob alle Normalen nach außen zeigen.

hast Du dazu 'ne Idee. Siehe Diskussion unter der Frage.

Ich hatte noch den Gedanken, Rand und Fläche so zu parametrieren:$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \vec x + r &= 0 \\ \frac 13 \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \vec x + s &= 0 \\ \frac 13 \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \vec x + t &= 1 && r,\,s,\, t \ge 0 \end{aligned}$$Die Summe der drei Parameter ist immer \(r+s+t=1\)

Answer 2

Hi, ich hab dir vorhin meine Lösung als Kommentar da gelassen. Dort war ist jedoch noch ein kleiner fehler drin. Jetzt sollte es passen.