Warum ist der Erwartungswert der Hypergeometrischen Verteilung "konstant"?

Question

Hallo,ich habe mir gerade die Formel zu der Hypergeometrischen Verteilung angeschaut.
Formel: https://www.frustfrei-lernen.de/images/mathematik/hypergeometrische-verteilung.jpgDie beschreibt die Verteilung beim "Ziehen ohne Zurücklegen".

Die Formel zu dem Erwartungswert der Hypergeometrischen Verteilung ist E[X] = n\( \frac{N}{M} \) = \(n \cdot p\).
Ich verstehe an dieser Stelle nicht warum der Erwartungswert "konstant" ist. Dieser wird ja nach der gleichen Formel berechnet wie beim "Ziehen mit Zurücklegen" \(n \cdot p\). Sollte sich nicht die Wahrscheinlichkeit nach jedem Zug verändern und so auch den Erwartungswert beeinflussen?

Natürlich könnte man sehr kompliziert die Formel für die Hyperg. Vert. umstellen und so auf den Erwartungswert kommen. Vielleicht gibt es ja aber auch eine einfache logische Erklärung dafür.

Bereits im jetzt schon vielen Dank.

Answer 1

Ich glaube du hast einen kleinen Denkfehler:) Die hypergeometrische Verteilung beschreibt in Worten die Wahrscheinlichkeit bei M gegebenen Elementen (Gesamtheit), von denen N die gewünschte Eigenschaften haben, bei n-maligen ziehen ohne zurück legen genau k treffen zu erzielen. Der Erwartungswert gibt hierbei die erwartete Anzahl der Treffer k bei n-maligen ziehen an.

Der Erwartungswert ist also nicht konstant, sondern hängt davon ab, wie groß du dein n wählst bzw. wie oft du ziehst.

Beispiel: In einer Urne sind 100 Kugeln, davon sind 30 rot. Wie viele rote Kugeln wirst du im Mittel erwarten, wenn du von der Urne 50x ziehst?

\(E[X]=50·\frac{30}{100}=15 \)

Wie ist es bei 80x ziehen?

\(E[X]=80·\frac{30}{100}=24 \)

Anders ausgedrückt: Der Erwartungswert ist hier eine lineare Funktion mit Steigung \( N/M \) und hängt von der Anzahl der Züge n ab .

Comments

Ah, ja natürlich. So ergibt es Sinn. Vielen Dank.