Ist die Funktion f(x)= tan (1/(x-1)) bei x=1 differenzierbar?

Question

Ist f(x)= tan (1/(x-1)) bei x=1 differenzierbar?

Ich komm nicht ganz weiter, vielleicht verwirrt mich auch einfach nur der tangens, wäre ganz nett, wenn das jemand lösen könnte. :)

Comments

Meinst du \(f(x)=\tan\left(\frac{1}{x-1}\right)\)?

Diese Funktion ist doch bei x=1 gar nicht definiert.

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Es soll vermutlich nicht einfach tan (1) heissen. Oder?

Ich habe oben rote Klammern ergänzt. Meinst du das so?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=tan%281%2F%28x-1%29%29

Graph zeigt: tan (1/(x-1)) kann bei x=1 unmöglich differenzierbar sein.

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Also man sollte die Aufgabe über die nicht-Stetigkeit prüfen. Die Lösung davon ist dann, dass der lim_x→_1^- f(x)=-1 und lim_x→_1⁺ f(x)=1 ist, und damit nicht stetig, also nicht diiferenzierbar.

Die Lösung steht hinten im Buch, aber halt ohne Rechenweg. Ich weiß aber nicht wie ich auf diese Grenzwerte komme.

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Meinst du eventuell atanh(1/(x-1)) und nicht tan(1/(x-1))?

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Ne, so wie sie 10001000Nick1 nochmal schöner hingeschrieben hat stimmt sie. Also sie ist schon richtig.

Answer 1

lim (x→1+) 1/(x - 1)
= lim (h→0) 1/((1+h) - 1) = 1/h = ∞

lim (x→1-) 1/(x - 1)
= lim (h→0) 1/((1-h) - 1) = -1/h = -∞

Nun hat tan(x) für x→±∞ aber keinen Grenzwert. Also weder plus eins noch minus eins.

Es ist wie Lu sagt. Das macht keinen Sinn und so ist auch die Lösung nicht richtig.